[論文レビュー] Symbolic Rees algebras, vertex covers and irreducible representations of Rees cones

Luis A. Dupont, Rafael H. Villarreal|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2007

Commutative Algebra and Its ApplicationsMathematics参考文献 24被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、エッジイデアルおよびそのアレクサンダー双対の記号的リース代数の最小生成元を、非可約頂点被覆とリース錐のヒルベルト基底を用いてグラフ論的特徴づけする。非可約2値b-頂点被覆が非可約部分グラフに対応することを示し、ヒルベルト基底を用いた方法により、すべての奇サイクルと反サイクルを計算可能である。さらに、グラフ上のコーン構成を用いた高次元の記号的リース代数の最小生成元を構成する。

ABSTRACT

Let G be a simple graph and let J be its ideal of vertex covers. We give a graph theoretical description of the irreducible b-vertex covers of G, i.e., we describe the minimal generators of the symbolic Rees algebra of J. Then we study the irreducible b-vertex covers of the blocker of G, i.e., we study the minimal generators of the symbolic Rees algebra of the edge ideal of G. We give a graph theoretical description of the irreducible binary b-vertex covers of the blocker of G. It is shown that they correspond to irreducible induced subgraphs of G. As a byproduct we obtain a method, using Hilbert bases, to obtain all irreducible induced subgraphs of G. In particular we obtain all odd holes and antiholes. We study irreducible graphs and give a method to construct irreducible b-vertex covers of the blocker of G with high degree relative to the number of vertices of G.

研究の動機と目的

• エッジイデアルの記号的リース代数の最小生成元を、グラフ論的不変量を用いて記述すること。
• グラフのブロッカーの非可約b-頂点被覆を、非可約部分グラフの観点から特徴づけること。
• リース錐のヒルベルト基底を用いた方法により、奇サイクルや反サイクルを含むすべての非可約部分グラフを体系的に計算する方法を開発すること。
• グラフのブロッカーに対して、頂点数に比して高い次数を持つ非可約b-頂点被覆を構成すること。
• 多面体幾何学を通じて、記号的リース代数生成元とクラッター内の組合せ的構造との関係を確立すること。

提案手法

• エッジイデアルのリース錐を用いて、記号的リース代数をR^{n+1}内の有理的多面体錐として表現する。
• 整数ヒルベルト基底を用い、リース錐の非可約表現を通じて記号的リース代数の最小生成元を同定する。
• b-頂点被覆および非可約b-頂点被覆を、クラッターの最小頂点被覆から導かれる特定の線形不等式を満たすZ^{n+1}内のベクトルとして定義する。
• グラフGの最小頂点被覆のクラッターとしてGのブロッカーを構成し、非可約被覆を用いてその記号的リース代数を研究する。
• グラフGにr重のコーン構成を施して得られる高次元クラッターG_rを用い、R_s(I(G_r))の最小生成元の次数の上限を導出する。
• ベクトル(a_1, ..., a_n, -b) ∈ Z^{n+1}が記号的リース代数の最小生成元を定義するための必要十分条件が、非可約b-被覆によってリース錐の面を定義することである、という事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジイデアルの記号的リース代数の最小生成元は、どのようにグラフ論的不変量を用いて記述可能か？
• RQ2 グラフのブロッカーの非可約b-頂点被覆とその非可約部分グラフとの関係は何か？
• RQ3 リース錐のヒルベルト基底を用いて、奇サイクルや反サイクルを含むすべての非可約部分グラフを体系的に計算可能か？
• RQ4 頂点数に比して高い次数を持つグラフのブロッカーの非可約b-頂点被覆をどのように構成できるか？
• RQ5 グラフのコーン上のエッジイデアルの記号的リース代数の構造は何か？その最小生成元の次数は？

主な発見

• グラフのブロッカーの非可約2値b-頂点被覆は、元のグラフの非可約部分グラフとちょうど一対一に対応する。
• リース錐のヒルベルト基底を用いた手法により、奇サイクルや反サイクルを含むすべての非可約部分グラフを体系的に計算可能である。
• n個の頂点と頂点被覆数gを持つグラフGに対してr重のコーン構成を施したグラフG_rについて、記号的リース代数R_s(I(G_r))は、変数tに関して次数n + (r-1)(n - g)の最小生成元を持つ。
• 奇サイクルC_s（長さs = 2k+1）に対してr重のコーン構成を施した場合、その記号的リース代数は最小生成元x_1⋯x_s x_{s+1}^k⋯x_{s+r}^k t^{rk + k + 1}を有し、tの次数が頂点数を上回ることを示している。
• a_i ≥ 1を満たすベクトルβ = (a_1, ..., a_n, (∑a_i - b), -∑a_i)がリース錐の面を定めることを示し、これにより対応する単項式が記号的リース代数の最小生成元であることを証明する。
• 最小頂点被覆の線形独立な特性ベクトルの存在により、構成された面の次元がn+1に達することを確認し、生成元の最小性を裏付ける。