[論文レビュー] Symmetric Gapped Interfaces of SPT and SET States: Systematic Constructions

Juven Wang, Xiao-Gang Wen+1 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|May 18, 2017

Surface and Thin Film Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、群拡張と動的ゲージ化を用いて、対称保護型トポロジカル（SPT）および対称拡張型トポロジカル（SET）相の対称的ギャップを持つ境界および界面を体系的に構成する。$ G $ の全局的対称性を $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ によりより大きな群 $ H $ に拡張することで、もともと異常な $ G $ 対称性を境界で持つ系を、異常なしの局所的 $ H $ 対称性に変換でき、次元 $ d \geq 2 $ において有限対称性群（時間反転およびユニタリ対称性を含む）を持つギャップのある境界を正確に解ける格子模型で実現可能である。主な結果は、対称性拡張、対称性の破れ、ゲージ化を体系的に統合する一般枠組みを提供し、トポロジカル秩序を持つ対称的ギャップのある境界を実現することにある。

ABSTRACT

Symmetry protected topological (SPT) states have boundary 't Hooft anomalies that obstruct an effective boundary theory realized in its own dimension with UV completion and an on-site $G$-symmetry. In this work, yet we show that a certain anomalous non-on-site $G$ symmetry along the boundary becomes on-site when viewed as an extended $H$ symmetry, via a suitable group extension $1 o K o H o G o1$. Namely, a non-perturbative global (gauge/gravitational) anomaly in $G$ becomes anomaly-free in $H$. This guides us to construct exactly soluble lattice path integral and Hamiltonian of symmetric gapped boundaries, always existent for any SPT state in any spacetime dimension $d \geq 2$ of any finite symmetry group, including on-site unitary and anti-unitary time-reversal symmetries. The resulting symmetric gapped boundary can be described either by an $H$-symmetry extended boundary of bulk $d \geq 2$, or more naturally by a topological emergent $K$-gauge theory with a global symmetry $G$ on a 3+1D bulk or above. The excitations on such a symmetric topologically ordered boundary can carry fractional quantum numbers of the symmetry $G$, described by representations of $H$. (Apply our approach to a 1+1D boundary of 2+1D bulk, we find that a deconfined gauge boundary indeed has spontaneous symmetry breaking with long-range order. The deconfined symmetry-breaking phase crosses over smoothly to a confined phase without a phase transition.) In contrast to known gapped interfaces obtained via symmetry breaking (either global symmetry breaking or Anderson-Higgs mechanism for gauge theory), our approach is based on symmetry extension. More generally, applying our approach to SPT, topologically ordered gauge theories and symmetry enriched topologically ordered (SET) states, leads to generic boundaries/interfaces constructed with a mixture of symmetry breaking, symmetry extension, and dynamical gauging.

研究の動機と目的

• 非局所的全局的対称性による 't Hooft異常を引き起こすため、SPTおよびSET状態の対称的ギャップのある境界を構築する課題を解決すること。
• ギャップのある境界および界面を構築する際の、対称性拡張、対称性の破れ、動的ゲージ化を体系的に統合する一般枠組みを構築すること。
• 任意の有限対称性群 $ G $（ユニタリおよび反ユニタリな時間反転対称性を含む）が、任意の時空次元 $ d \geq 2 $ において、このようなギャップのある境界が存在することを証明すること。

提案手法

• 群拡張 $ 1 \to K \to H \to G \to 1 $ を用いて $ G $-コサイクルを自明化し、境界における異常な $ G $ 対称性を局所的 $ H $ 対称性に変換する。
• 拡張された $ H $ 対称性を用いて、ギャップのある境界の正確に解ける格子経路積分およびハミルトニアン模型を構築し、UV完備性と異常なしを保証する。
• 2種類の境界模型を導入する：1つは局所性を破る「ハード」ゲージ場を含み、もう1つは局所性を保つ「出現的ソフト」ゲージ場を含む。
• コボルディズムおよび群コhomologyのアプローチを用いて、標準的な群コhomology枠組みを超えたSPTおよびSET状態の分類と構成を行う。
• SPT状態における全局的対称性のゲージ化を統一的原理として用い、群準同型を介したゲージ理論界面の構成と同等であることを示す。
• 異なるトポロジカル相（例：SPT、SET、トポロジカル秩序）間のギャップのある界面が、対称性拡張と対称性の破れを組み合わせた混合構成により実現可能であり、ゲージフラックスのホロノミーに制約が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元 $ d \geq 2 $ において、有限対称性群（時間反転を含む）を持つ任意のSPT状態に対して、体系的にギャップのある対称的境界を構築可能か？
• RQ2 SPT状態の境界における非局所的 $ G $ 対称性の異常は、どのようにして異常なしの局所的対称性に解消可能か？
• RQ3 $ G $-コサイクルが対称的ギャップのある境界を妨げる障害を自明化するための群拡張 $ H $ の役割は何か？
• RQ4 SPT、SET、トポロジカル秩序などの異なるトポロジカル相間のギャップのある界面は、対称性拡張とゲージ化の統一的枠組みを用いて構築可能か？
• RQ5 群準同型 $ H \to G \times G' $ が、$ G $-ねじれゲージ理論と $ G' $-非ねじれゲージ理論の間で一貫したゲージ界面を構成可能となる条件は何か？

主な発見

• 任意の有限対称性群 $ G $（$ Z_2^T $ 時間反転対称性を含む）に対して、任意の $ d \geq 2 $ において、$ G $-コサイクルを自明化する群拡張 $ H $ を用いて、対称的ギャップのある境界が存在する。
• 境界における異常な非局所的 $ G $ 対称性は、$ H $ 対称性として見なすことで局所的になり、境界が異常なしとなる。
• ギャップのある境界は、グローバル $ G $ 対称性を持つ $ K $-ゲージ理論として実現可能であり、励起状態は $ G $ の分数量子数を担い、$ H $ の表現によって実現される。
• 1+1次元では、2+1次元SPT状態の脱コンfinement的ゲージ境界は、長距離秩序を示す対称性の自発的破れを示し、相転移を経ることなく、コンfinement相へ滑らかに過渡する。
• 群準同型 $ H \to G \times G' $ が適切に定義され、フラックス制約が満たされる限り、SPTとトポロジカル秩序相の間のギャップのある界面は、対称性拡張と対称性の破れを混合して構築可能である。
• 本枠組みは、SPT状態における全局的対称性のゲージ化とゲージ理論界面の構成を統一し、両者の視点が共通の代数的構造を通じて同等であることを示している。