[論文レビュー] Topological Quantum Computation with Gapped Boundaries

Iris Cong, Meng Cheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、Dijkgraaf-Witten トポロジカル量子場理論におけるギャップを持つ境界を用いたトポロジカル量子計算のフレームワークを開発する。これは修正されたKitaev量子ドライブラモデルを介して実現され、ハミルトニアン構成と圏論的代数の間の対応を確立する。ギャップを持つ境界がユニバーサル量子計算を可能にすることを示しており、特に $τ$-D($ℤ_3$) 理論が、トポロジカルに保護された操作を通じてハダマード、パウリ-X、SUM、位相ゲートを含むユニバーサルゲートセットをサポートすることを示している。

ABSTRACT

This paper studies fault-tolerant quantum computation with gapped boundaries. We first introduce gapped boundaries of Kitaev's quantum double models for Dijkgraaf-Witten theories using their Hamiltonian realizations. We classify the elementary excitations on the boundary, and systematically describe the bulk-to-boundary condensation procedure. We also provide a commuting Hamiltonian to realize defects between boundaries in any quantum double model. Next, we present the algebraic/categorical structure of gapped boundaries and boundary defects, which will be used to describe topologically protected operations and obtain quantum gates. To demonstrate a potential physical realization, we provide quantum circuits for surface codes that can perform all basic operations on gapped boundaries. Finally, we show how gapped boundaries of the abelian theory $\mathfrak{D}(\mathbb{Z}_3)$ can be used to perform universal quantum computation.

研究の動機と目的

• Dijkgraaf-Witten理論のKitaev量子ドライブラモデルにおけるギャップを持つ境界のハミルトニアン的実装を開発すること。
• バルクから境界への凝縮を用いて、ギャップを持つ境界上の基本的励起状態および凝縮過程を分類すること。
• Anyonic系における異なる境界タイプ間の欠陥に対して可換ハミルトニアンを構成すること。
• ラグランジュ代数とM記号を用いて、トポロジカル秩序および境界欠陥の融合を記述する代数的フレームワークを確立すること。
• 表面コード実装を用いて、物理的に実装可能なトポロジカル操作およびユニバーサル量子計算を示すこと。

提案手法

• ギャップを持つ境界を、トポロジカル秩序を保つ境界項を備えた修正されたKitaev量子ドライブラハミルトニアンを用いて構築する。
• リボン演算子および三角形演算子を定義し、境界におけるanyonの生成、バーニング、凝縮を記述する。
• モジュラーテンソルカテゴリにおけるラグランジュ代数を用いて、境界相および凝縮チャネルを分類する。
• 境界anyonおよび欠陥の融合およびバーニング則を記述するためのM記号（3jおよび6j）を導入する。
• ギャップを持つ境界上でトンネル化、ループ、バーニング操作を実装する表面コード用の量子回路を設計する。
• 表面コードアーキテクチャにおける安定化子回路を通じて、トポロジカル操作を物理的量子ゲートにマッピングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dijkgraaf-Witten TQFTにおけるギャップを持つ境界は、正確に解けるハミルトニアンモデルでどのように実現可能か？
• RQ2 圏論およびラグランジュ代数の観点から、ギャップを持つ境界および境界欠陥の代数的構造は何か？
• RQ3 バーニング、トンネル化、電荷測定といったトポロジカルに保護された操作は、表面コードで物理的に実装可能か？
• RQ4 ギャップを持つ境界の計算能力は何か？ユニバーサル量子計算をサポートできるか？
• RQ5 異なる境界タイプ間の欠陥は融合およびバーニングにおいてどのように振る舞い、量子ゲート実装において果たす役割は何か？

主な発見

• D($ℤ_3$) 理論におけるギャップを持つ境界は、ハダマードゲート $H_3$、一般化されたパウリ-Xゲート $\sigma^x_3$、SUMゲート $\text{SUM}_3$、および位相ゲート $Q_3 = \mathrm{diag}(1,1,\omega)$ を含むユニバーサルな量子ゲートセットをサポートしており、ユニバーサル量子計算を可能にする。
• D($S_3$) 理論は、キュービットおよびキュートリット符号化を両方可能とし、非クリフォードゲートを実現するトポロジカルに保護された操作を有するため、キュービットのみのanyonicモデルより高い計算能力を示している。
• 本稿は、異なる境界タイプ間の欠陥に対して可換ハミルトニアンを構成し、そのような欠陥が非自明な融合およびバーニング統計を有するanyonic励起状態をサポートすることを示している。
• 境界励起状態はバルクから境界への凝縮から生じ、そのanyonic内容はラグランジュ代数を用いて分類され、基底デゲネラシーは凝縮チャネルの数によって決定される。
• 表面コード実装において、ギャップを持つ境界は安定化子回路を用いて初期化、測定、移動が可能であり、トンネル化およびループ演算子の物理的実装が可能である。
• M記号（3jおよび6j）は、境界anyonの融合およびバーニングを完全に代数的に記述でき、anyonic統計からトポロジカル量子ゲートを構成可能である。