[論文レビュー] Symmetric power functoriality for Hilbert modular forms

James Newton, Jack A. Thorne|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2022

Advanced Algebra and Geometry被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、全実体上のGL₂におけるカスプ的自動形式表現に対して、対称冪上昇の存在を確立する。非CMで正則代数的ヒルベルトモジュラー形式が正則重みを持つ任意のものに対して、n次の対称冪がGLₙ上のにカスプ的自動形式表現へ上昇することを証明する。証明はガロア表現、自動形式上昇定理、レベル上昇合同式による帰納法を用い、すべてのn ≥ 1に対して対称冪関手的性が成立することを確認する。

ABSTRACT

Let $F$ be a totally real field. We prove the existence of all symmetric power liftings of those cuspidal automorphic representations of $\mathrm{GL}_2(\mathbf{A}_F)$ associated to Hilbert modular forms of regular weight.

研究の動機と目的

• 全実体上での非CMで正則代数的ヒルベルトモジュラー形式に対して、対称冪上昇の存在を確立すること。
• 素因数分解に基づく帰納的戦略を用いて、すべてのn ≥ 1に対して対称冪関手的性を拡張すること。
• GL₂上のRAESDC自動形式表現の対称冪が、GLₙ上のにカスプ的自動形式表現へ上昇することを証明すること。
• 自動形式上昇における残留可約性の障害を、適切なイーゼンスタイン級数の構成とレベル上昇合同式を用いて克服すること。

提案手法

• RAESDC自動形式表現に関連するガロア表現を用い、自動形式性問題をガロア理論的問題に翻訳する。
• 残留可約なガロア表現に、ステインバーグ局所成分を持つ自動形式上昇定理を適用する。
• 鍵となる含意を用いる：SP_r + SP_{p−r} + LR_{p+r} + TP_r ⇒ SP_{p+r}、ここでp ≥ 5は素数で、0 < r < p。
• ユニタリ群からエンドスコピック上昇を構成し、対称冪ガロア表現を自動形式として実現する。
• レベル上昇合同式(LR_m)とテンソル積関手的性(TP_r)を用い、自動形式間の合同式を構成する。
• 既知のRAESDC表現に関する結果を活用し、ねじれと基本拡大を用いて一般の場合を正則代数的ケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂上の非CMで正則代数的ヒルベルトモジュラー形式のn次の対称冪が、GLₙ上のにカスプ的自動形式表現へ上昇するか？
• RQ2 ベルトランの補題に基づく帰納的戦略を用いて、すべてのn ≥ 1に対して対称冪関手的性を確立できるか？
• RQ3 対称冪から生じる残留可約なガロア表現に対して、自動形式上昇定理をどの程度まで適用できるか？
• RQ4 レベル上昇合同式とテンソル積関手的性を用いて、必要な自動形式上昇を構成できるか？

主な発見

• この論文は、任意の非CMで正則代数的RAESDC自動形式表現πがGL₂(AF)上で定義される場合、すべてのn ≥ 1に対して、対称冪Sym^{n−1}πがGLₙ(AF)上のにカスプ的自動形式表現として存在することを証明する。
• 既存の結果と新しいLR_nおよびTP_rのケースを組み合わせることで、すべてのn ≥ 1に対して、対称冪上昇の存在が条件なしに確立される。
• 正則重みのヒルベルトモジュラー形式に対し、対称冪関手的性は、重みがパリティを満たさない場合でも、ねじれと基本拡大を用いることで成立する。
• 証明は、p ≥ 5を素数としてn = p + rと素因数分解する帰納的戦略に依拠し、ステインバーグ局所成分を持つガロア表現に自動形式上昇定理を適用する。
• 著者らは、ヒルベルトモジュラー形式に関連するガロア表現の対称冪が自動的であることを確認し、局所成分が局所ラングランズパラメータの対称冪と一致することを示している。