[論文レビュー] Symmetric solutions to dispersionless 2D Toda hierarchy, Hurwitz numbers and conformal dynamics

S. M. Natanzon, A. Zabrodin|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分散なし2次元Toda可積分系の対称的解について、テイラー級数展開を明示的に構成し、係数を普遍的な組合せ定数で表現する。また、双曲的リーマン写像問題や共形力学への接続を、分散なしtau関数およびグリーン関数形式を用いて確立する。

ABSTRACT

We explicitly construct the series expansion for a certain class of solutions to the 2D Toda hierarchy in the zero dispersion limit, which we call symmetric solutions. We express the Taylor coefficients through some universal combinatorial constants and find recurrence relations for them. These results are used to obtain new formulas for the genus 0 double Hurwitz numbers. They can also serve as a starting point for a constructive approach to the Riemann mapping problem and the inverse potential problem in 2D.

研究の動機と目的

• 分散なし2次元Toda可積分系の対称的解を、零分散極限において体系的な級数展開を構成すること。
• これらの解のテイラー係数を、ヤング図と自然数列に依存する普遍的な組合せ定数で表現すること。
• これらの組合せ係数の再帰的関係を導出し、明示的な計算を可能にすること。
• 得られた結果を種数0の二重Hurwitz数に応用し、新しい明示的公式を導出すること。
• 可積分系と共形力学の間の関係を、分散なしtau関数およびグリーン関数を用いて確立すること。これには、リーマン写像問題や逆ポテンシャル問題が含まれる。

提案手法

• 分散なし2次元Toda可積分系のHirota形式を用い、tau関数 $ F $、時間変数 $ t_k, \bar{t}_k $、微分作用素 $ D(z), \bar{D}(\bar{z}) $ を含む微分方程式で表現する。
• 時間変数 $ t_k, \bar{t}_k $ における形式的対称的解をテイラー級数として構成し、$ F|_{t_0} $ に依存する1変数関数によって完全に決定される。
• テイラー係数を符号化する普遍的な組合せ定数 $ N_{(\Delta|\bar{\Delta})}\left(\begin{smallmatrix}s_1\ldots s_m\\ r_1\ldots r_m\end{smallmatrix}\right) $ を定義する。
• $ c=1 $ ストリング解に関する先行研究の手法を拡張して、これらの係数の再帰的関係を導出する。
• 種数0の二重Hurwitz数の母関数と対称的解との関係を特定し、係数をHurwitz数と特定する。
• 分散なしtau関数、グリーン関数、および特別な変形（一様密度の場合や円筒上のラプラス成長）を用いて、共形力学を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分散なし2次元Toda可積分系の対称的解は、どのように体系的にテイラー級数に展開可能であり、その係数は何かによって決定されるか？
• RQ2 ヤング図と自然数列を用いて、テイラー係数の明示的な組合せ的構造は何か？
• RQ3 これらの係数は、種数0の分岐被覆に対応する二重Hurwitz数とどのように関係するか？
• RQ4 分散なしtau関数の性質は、リーマン写像問題や逆ポテンシャル問題を解くために利用可能か？
• RQ5 非自明な $ F|_{t_0} $ を持つ対称的解において、tau関数の同次性およびスケーリング性は果たす役割は何か？

主な発見

• 分散なし2次元Toda可積分系のすべての形式的対称的解は、1変数関数 $ F|_{t_0} $ によって完全に決定される。
• 対称的解のテイラー係数は、2つのヤング図と2つの自然数列に依存する普遍的な組合せ定数 $ N_{(\Delta|\bar{\Delta})}\left(\begin{smallmatrix}s_1\ldots s_m\\ r_1\ldots r_m\end{smallmatrix}\right) $ を用いて表現される。
• これらの組合せ係数の再帰的関係が導出され、再帰的計算が可能になる。
• 連結な種数0の二重Hurwitz数の母関数は、対称的解として特定され、$ H_0(\Delta|\bar{\Delta}) $ の新しい明示的公式が組合せ係数を用いて得られる。
• 一様密度の場合、分散なしtau関数は $ \tau = 1/\beta $ を含む同次性関係を満たし、無限大の円筒上のラプラス成長と関連する。
• tau関数の $ \beta $ に関する2階微分は、カットアンドジョイント作用素の種数0部分を含む表現を導き、Hurwitz理論における既知の結果と整合性を確認する。