[論文レビュー] Symmetries and gauge symmetries in multisymplectic first and second-order Lagrangian field theories: electromagnetic and gravitational fields

Jordi Gaset, Narciso Román‐Roy|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、1次および2次多symplecticラグランジュ場理論における対称性およびゲージ対称性の幾何学的分析を、ネーター型定理を用いて保存量を導出することで行う。この枠組みを電磁気学および一般相対性理論（アインシュタイン＝ヒルベルトおよびアインシュタイン＝パラティーニモデル）に適用し、ゲージ対称性の幾何学的役割を、premultisymplectic形式の核内にある垂直ベクトル場を通じて明確にした。また、場理論におけるゲージ還元のための基盤を確立した。

ABSTRACT

Symmetries and, in particular, Cartan (Noether) symmetries and conserved quantities (conservation laws) are studied for the multisymplectic formulation of first and second order Lagrangian classical field theories. Noether-type theorems are stated in this geometric framework. The concept of gauge symmetry and its geometrical meaning are also discussed in this formulation. The results are applied to study Noether and gauge symmetries for the multisymplectic description of the electromagnetic and the gravitational theory; in particular, the Einstein--Hilbert and the Einstein--Palatini approaches.

研究の動機と目的

• 1次および2次多symplecticラグランジュ場理論における対称性および保存則の厳密な幾何的特徴付けを提供すること。
• 特に、プレマルチシンプレクティック形式の核内にある垂直ベクトル場としての無限小生成子を介して、ゲージ対称性の幾何的意味を明確にすること。
• 基本的な古典的場理論である電磁気学および一般相対性理論（アインシュタイン＝ヒルベルトおよびアインシュタイン＝パラティーニ作用）への形式の適用。
• 多symplectic設定におけるゲージ同値性およびゲージ還元の整合的枠組みを確立すること。
• 特異ラグランジュ関数を伴う高階、場理論的系への、プレシンプレクティック力学からの洞察の拡張。

提案手法

• 1次または2次ラグランジュ関数を伴う場理論を記述するための、高階のジャンバンドルおよび多symplectic幾何学に基づく形式的枠組み。
• ベクトル場による引き戻しの下で多symplectic形式の不変性によって定義されるカルタン（ネーター）対称性の使用。
• 多symplectic枠組みにおけるネーター定理を用いた保存電流の導出を、特定の閉包および保存条件を満たす(n−1)形式として表現。
• 特異ラグランジュ関数に関連する、premultisymplecticプレマルチシンプレクティック形式の核内にある垂直ベクトル場としてのゲージ対称性の同定。
• 電磁場ラグランジュ関数および一般相対性理論におけるヒルベルト＝アインシュタインおよびアインシュタイン＝パラティーニ作用への形式の適用。
• ジャン延長およびカルタン形式の使用による、両方の理論における場方程式および対称性に由来する電流の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多symplectic1次および2次場理論におけるネーター対称性および関連保存則は、どのように幾何学的に特徴付けられるか？
• RQ2 特異ラグランジュ関数およびpremultisymplectic形式の文脈において、ゲージ対称性の正確な幾何学的役割は何か？
• RQ3 一般相対性理論のヒルベルト＝アインシュタインおよびアインシュタイン＝パラティーニ形式は、多symplectic枠組みにおいてどのようにネーター対称性およびゲージ対称性を示すか？
• RQ4 多symplectic場理論において、ゲージ同値な解とプレマルチシンプレクティック形式の核との関係は何か？
• RQ5 機械的プレシンプレクティック系から、場理論的多symplectic系へのゲージ対称性の幾何的構造を体系的に一般化できるか？

主な発見

• 多symplectic枠組みにおけるネーター対称性は、ベクトル場のジャン延長による多symplectic形式の不変性によって特徴付けられ、保存電流が(n−1)形式として得られる。
• 電磁場において、ゲージ対称性はpremultisymplectic形式の核内にある垂直ベクトル場として幾何学的に実現され、標準的なU(1)ゲージ自由度と整合的である。
• 2次ラグランジュ関数であるヒルベルト＝アインシュタイン作用において、ゲージ対称性はプレマルチシンプレクティック形式の核内にあるジャン延長を持つベクトル場による微分同相変換に対応する。
• 1次ラグランジュ関数であるアインシュタイン＝パラティーニモデルにおいても、ゲージ対称性は同様に核内にある垂直ベクトル場として特徴付けられ、独立した計量および接続変数を反映している。
• 対称性ベクトル場Yに付随する保存電流は、ξ_Y = i(j¹Y)Θ_L で与えられ、オンシェル上では閉形式に簡約され、保存則が得られる。
• 本稿は、ゲージ同値な解がこれらの核内ベクトル場によって生成される変換により関連づけられ、ゲージ還元がゲージ群作用による商を取ることで体系的に行えることを確立した。