[論文レビュー] Symmetries of vector fields: the diffeomorphism centralizer

Davi Obata|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コンpaktoな多様体上のC¹-一般のベクトル場が高々有限個の吸引域または発散域をもつ場合、微分同相写像中心化群（流と可換なC¹微分同相写像の集合）が準自明であることを確立している。すなわち、そのようなすべての微分同相写像は流の時間再パラメトライゼーションに他ならない。ベクトル場が高々可算無限個の鎖状再帰的クラスをもつ場合、中心化群は自明である。すなわち、流そのものによって生成される。

ABSTRACT

In this paper we study the diffeomorphism centralizer of a vector field: given a vector field it is the set of diffeomorphisms that commutes with the flow. Our main theorem states that for a $C^1$-generic diffeomorphism having at most finitely many sinks or sources, the diffeomorphism centralizer is quasi-trivial. In certain cases, we can promote the quasi-triviality to triviality. We also obtain a criterion for a diffeomorphism in the centralizer to be a reparametrization of the flow.

研究の動機と目的

• C¹ベクトル場の微分同相写像中心化群の構造を調査すること。中心化群とは、流と可換なC¹微分同相写像の集合として定義される。
• この中心化群が準自明（各元が流の時間再パラメトライゼーションに他ならない）であるか、または自明（定数時間シフトによる再パラメトライゼーション）であるかを特定すること。
• 微分同相写像の中心化群に関して、以前は微分同相写像の設定で確立されていた一般の自明性結果を、ベクトル場とその流の設定へと拡張すること。
• 中心化群に属する微分同相写像が、流の時間再パラメトライゼーションとして特徴付けられる条件を提供すること。
• スメールの中心化群問題の流版を扱うこと。すなわち、C¹-一般のベクトル場が自明または準自明な中心化群をもつのかどうかを問う。

提案手法

• ベクトル場XのC¹-微分同相写像中心化群を、任意のt∈ℝに対してf∘Xₜ = Xₜ∘fを満たすC¹微分同相写像fの集合として定義する。
• 準自明性の概念を用いる：fが中心化群に属するとは、各xに対してf(x) = Xₜ(x)を満たす連続関数t(x)が存在することである。
• C¹-一般のベクトル場が高々有限個の吸引域または発散域をもつ場合、安定多様体上の極限引数と線形Poincaré流を用いて、中心化群が準自明であることを示す。
• LND（極限非退化性）性質とC¹ノルムの制御を用いて、時間再パラメトライゼーション関数τの一様有界性を確立する。
• 鎖状再帰的クラスの数が高々可算無限個である場合、連続関数τは定数でなければならないことを示し、自明性を示す。
• 非定常集合の稠密性と軌道のダイナミクスを用いて、局所的な再パラメトライゼーション恒等式を大域的に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹-一般のベクトル場が高々有限個の吸引域または発散域をもつ場合、そのC¹-微分同相写像中心化群は準自明か？
• RQ2 準自明性が自明性を意味するための追加条件は何か？
• RQ3 中心化群に属する微分同相写像は、流の時間再パラメトライゼーションとして特徴付けられるか？
• RQ4 ベクトル場の中心化群と微分同相写像の中心化群の構造には、どのような相違があるか？
• RQ5 Axiom Aまたは断面的Axiom Aクラスに属するC¹-一般のベクトル場の中心化群は、自明か？

主な発見

• C¹-残渣集合𝒪 ⊂ 𝒳¹(M)が存在し、任意のX ∈ 𝒪が高々有限個の吸引域または発散域をもつ場合、XのC¹-微分同相写像中心化群は準自明である。
• X ∈ 𝒪が高々可算無限個の鎖状再帰的クラスをもつ場合、XのC¹-微分同相写像中心化群は自明である。
• コンパクトな曲面上のC¹-一般のベクトル場に対して、中心化群は自明である。これはペイクソトのモース＝スマール結果の拡張である。
• C¹-一般のAxiom Aのベクトル場は、C¹-微分同相写像中心化群が自明である。
• C¹-一般の断面的Axiom Aのベクトル場の中心化群は自明である。
• 3次元においてホモクラインねじれが存在しないC¹-ベクトル場に対しても、結果は拡張可能である。これは3次元におけるパライス予想に従う。