[論文レビュー] Symmetrization of Rational Maps: Arithmetic Properties and Families of Latt\\`es Maps of $\\mathbb P^k$

Thomas Gauthier, Benjamin Hutz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ の自己準同型を、$\mathbb{P}^1$ 上の有理写像の対称積を通じて研究し、商写像 $(\mathbb{P}^1)^k / \mathfrak{S}_k \cong \mathbb{P}^k$ を介して、$f \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^1)$ から $F \in \mathrm{Hom}_d(\mathbb{P}^k)$ への上げ構成を確立する。主な貢献は、$k$-深さの後期的有限写像の特徴付けと、高次元におけるラッティーズ写像の族の分類であり、対称積ラッティーズ写像が、剛性を持つか、3次元のモジュライ空間内に1次元の部分族に属するかの両者であることを示している。

ABSTRACT

In this paper we study properties of endomorphisms of $\\p^k$ using a symmetric product construction $(\\p^1)^k/\\mathfrak{S}_k \\cong \\p^k$. Symmetric products have been used to produce examples of endomorphisms of $\\p^k$ with certain characteristics, $k\\geq2$. In the present note, we discuss the use of these maps to enlighten stability phenomena in parameter spaces. In particular, we study $k$-deep post-critically finite maps and characterize families of Latt\\`es maps.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ の自己準同型の力学を、$\mathbb{P}^1$ 上の有理写像からの対称積構成を用いて理解すること。
• 自己準同型のパrameter空間における安定性現象を、$k$-深さの後期的有限写像を用いて分析すること。
• $k \geq 2$ における $\mathbb{P}^k$ 内のラッティーズ写像の族を、対称積の上げを用いて分類すること。
• 対称積ラッティーズ写像がモジュライ空間内で剛性を持つのか、あるいは正次元の族に属するのかを特定すること。

提案手法

• 有理写像 $f: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ の対称積として、$\mathfrak{S}_k$-作用に関する商写像 $\eta_k: (\mathbb{P}^1)^k \to \mathbb{P}^k$ を介して、自己準同型 $F: \mathbb{P}^k \to \mathbb{P}^k$ を構成すること。
• $f^k$ と $F$ を結ぶ可換図式を用い、商上の誘導写像として対称積写像 $F$ を定義すること。
• $j$-深さの後期的有限写像を、$j$ 番目の臨界集合の前向き軌道が純コドメイン $j+1$ の代数的集合であることを要件として帰納的に定義すること。
• $\mathbb{P}^2$ 内のラッティーズ写像の既知の分類結果（Feng Rong より）を用いて、次元2における対称積ラッティーズ写像を分析すること。
• 定理7を適用し、基本写像 $f$ が剛性を持つ場合、対称積ラッティーズ写像が剛性であることを導出すること。
• 対称積ラッティーズ写像の族のモジュライ次元を分析し、対称積の最大部分族がモジュライ空間内で次元1であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^1$ 上のラッティーズ写像の対称積が、$\mathbb{P}^k$ 上で剛性ラッティーズ写像となるのはいつか？
• RQ2 $k \geq 2$ における $\mathbb{P}^k$ 内の対称積ラッティーズ写像のモジュライ空間の構造は何か？
• RQ3 $k$-深さの後期的有限写像は、高次元におけるラッティーズ写像の力学とモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ4 対称積ラッティーズ写像は、$\mathbb{P}^2$ 内の代数的ウェブを保存する写像で近似可能か？
• RQ5 対称積ラッティーズ写像が正次元族に属するか、それともモジュライ空間内で孤立しているかを決定するのは何か？

主な発見

• 定理7により、$\mathbb{P}^1$ 上の剛性ラッティーズ写像の対称積は、$\mathbb{P}^k$ 上でも剛性ラッティーズ写像を与える。
• $\mathbb{P}^2$ では、対称積ラッティーズ写像は、剛性であるか、3次元のラッティーズ写像モジュライ族内の1次元部分族に属する。これは系4.2による。
• $k=2$ の場合、対称積ラッティーズ写像 $F$ は、剛性であるか、滑らかな三次曲線に関連する代数的ウェブを保存する写像で近似可能である。
• $\mathbb{P}^1$ 上の柔軟な族 $f_\lambda$ の2重対称積の族は、$\mathbb{P}^2$ 内の柔軟ラッティーズ写像の3次元族内の1次元部分族をなす。これは1次元部分族構造を確認する。
• 明示的な例により、ミルナーの次数2の剛性ラッティーズ写像の2重対称積は $\mathbb{P}^2$ 上で剛性ラッティーズ写像となり、3重対称積は $\mathbb{P}^3$ 上で剛性ラッティーズ写像となる。両者とも明示的な同次多項式の式で与えられる。
• この構成により、対称積写像 $F$ が $\mathbb{P}^k$ の自己準同型であることが保証され、その力学は基本写像 $f$ の $\mathbb{P}^1$ 上の力学を反映する。