[論文レビュー] Symmetry-enriched topological order in tensor networks: Defects, gauging and anyon condensation

Dominic J. Williamson, Nick Bultinck+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Quantum many-body systems被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、対称性拡張トポロジカル（SET）秩序を記述するテンソルネットワークフレームワークを導入し、グレーデッド行列積演算子（MPO）代数を用いて対称性のドメインウォールと任意ons欠損を記述する。グレーデッドユニタリ結合カテゴリとの関係を確立し、ゲージ化と任意ons凝縮を通じて発現するトポロジカル秩序を導出し、モジュラーデータや欠損超選別セクターを計算するための図式的計算法を提供する。

ABSTRACT

We study symmetry-enriched topological order in two-dimensional tensor network states by using graded matrix product operator algebras to represent symmetry induced domain walls. A close connection to the theory of graded unitary fusion categories is established. Tensor network representations of the topological defect superselection sectors are constructed for all domain walls. The emergent symmetry-enriched topological order is extracted from these representations, including the symmetry action on the underlying anyons. Dual phase transitions, induced by gauging a global symmetry, and condensation of a bosonic subtheory, are analyzed and the relationship between topological orders on either side of the transition is derived. Several examples are worked through explicitly.

研究の動機と目的

• 2次元系における対称性拡張トポロジカル（SET）秩序の体系的テンソルネットワーク記述を、グレーデッド行列積演算子（MPO）代数を用いて開発すること。
• MPOの代数的構造を通じて、SET秩序とグレーデッドユニタリ結合カテゴリとの対応関係を確立すること。
• MPO表現と欠損超選別セクターから、発現するトポロジカル秩序および任意ons上の対称性作用を導出すること。
• ゲージ化によるグローバル対称性の変換と任意ons凝縮を通じて双対的相転移を分析し、モリタ同値を介してそれらを結びつけること。
• モジュラー行列やトポロジカル量子もつれエントロピーなどのトポロジカル不変量を計算するための図式的計算法を構築すること。

提案手法

• （グレーデッド）ユニタリ結合カテゴリからの入力データを用いて、対称性拡張スチューンネットテンソルネットワークを構築し、グループ・ジッパー条件を満たすMPOテンソルを定義する。
• MPOの「引き抜き」方程式を実装して、トポロジカル秩序および任意ons上の対称性作用と一貫性を保証する。
• 欠損チューブ代数を定義し、対称性のドメインウォールの超選別セクターを分類する。これを、無限小中心イデムポテンシャル（ICIs）を用いてブロック対角化する。
• $$\tilde{\rho}$$-ねじれ最小もつれ状態と$$\tilde{\rho}$$-クロスモジュラー行列を導出し、対称性ねじれトポロジカル秩序を特徴付ける。
• $$\tilde{\rho}$$-クロスモジュラー行列を用いて、欠損任意onsのトポロジカル量子もつれエントロピーと結合則を計算する。
• MPO代数間のモリタ同値を用いて、ゲージ化の双対的となる任意ons凝縮相転移を分類し、境界CFTの一般化されたスレンジーコリレーションを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グレーデッドMPO代数を用いたテンソルネットワーク状態において、どのように対称性拡張トポロジカル秩序を体系的に記述できるか？
• RQ2 SET相における対称性のドメインウォールの代数的構造は何か？ そしてそれはどのようにグレーデッドユニタリ結合カテゴリに関係するか？
• RQ3 テンソルネットワーク状態およびトポロジカル相転移の文脈において、グローバル対称性のゲージ化と任意ons凝縮はどのように関係するか？
• RQ4 欠損チューブ代数は、SET秩序における超選別セクターの分類およびトポロジカル不変量の計算において果たす役割は何か？
• RQ5 SETテンソルネットワークから導かれる一般化されたスレンジーコリレーションは、既知の統計力学的モデルおよび境界CFTをどのように実現するか？

主な発見

• 本稿は、$$\tilde{\rho}$$-グレーデッドMPO代数と$$\tilde{\rho}$$-グレーデッドユニタリ結合カテゴリとの直接的対応関係を確立し、SET秩序のテンソルネットワーク実現を提供する。
• 欠損チューブ代数は、無限小中心イデムポテンシャル（ICIs）を用いてブロック対角化され、対称性のドメインウォールの超選別セクターの分類が可能になる。
• $$\tilde{\rho}$$-クロスモジュラー行列が導出され、グローバル対称性の存在下での任意onsのねじれバーニングおよび結合則を符号化していることが示された。
• 欠損超選別セクターのトポロジカル量子もつれエントロピーが計算され、期待値$$ \tilde{\rho} \times \text{rank}(\tilde{\rho}) \times \text{log} d $$(ここで$$ d $$は量子次元)と一致することが示された。
• MPO代数間のモリタ同値を用いて、ゲージ化の双対的となる任意ons凝縮相転移が分類され、二重セミオンモデルへの遷移を含む明示的例が提示された。
• SETテンソルネットワークから構築された一般化されたスレンジーコリレーションは、イジング模型および$$\bbZ_3$$ポッツ模型といった既知のモデルを再現し、境界CFTとギャップのあるSET相を結びつける。