[論文レビュー] Symplectic hypersurfaces and transversality in Gromov-Witten theory

Kai Cieliebak, Klaus Mohnke|ArXiv.org|Feb 28, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、閉シンプレクティック多様体における$J$-擬正則球面の横断性を達成するための新規な手法を提示する。高次元のシンプレクティック超曲面とそれらに制約されたマークド点を用いることで、安定写像のモジュライ空間が滑らかで、有限次元な多様体であることを保証する。主な貢献は、補助的選択（超曲面や almost complex 構造）に依存しない、明確に定義された正則な genus zero Gromov-Witten 不変量の、擬サイクル評価による定式化である。

ABSTRACT

We use Donaldson hypersurfaces to construct pseudo-cycles which define Gromov-Witten invariants for any symplectic manifold which agree with the invariants in the cases where transversality could be achieved by perturbing the almost complex structure.

研究の動機と目的

• 閉シンプレクティック多様体に整数シンプレクティック形式を持つ場合の genus zero Gromov-Witten 理論における横断性問題を解決すること。
• シンプレクティック超曲面に写像されるマークド点を備えた$J$-擬正則球面のモジュライ空間を、明確に定義され、正則であるように構成すること。
• 補助的データ（例えば、シンプレクティック超曲面や almost complex 構造の選択）に依存しない、擬サイクル評価による genus zero Gromov-Witten 不変量の定義。
• 不変量が Donaldson ペair のホモトピーおよびシンプレクティズム写像の下で不変であることを確立すること。
• 一般多様体のFredholm理論に代わる、標準的関数解析的手法に依存する、より単純な代替手法を、シンプレクティック幾何における擬正則曲線に提供すること。

提案手法

• 高次元$D$のシンプレクティック超曲面$Y \subset X$を導入し、$D[\omega]$のPoincaré双対を表す。また、$\theta(Y;\omega,J) < \theta_3$となるようにKähler角を制御する。
• 十分大きな$D$に対して、Donaldsonの構成によりこのような超曲面の存在を保証する。
• $X$上の$\omega$-tamed almost complex 構造の空間$\mathcal{J}_{\ell+1}(X,Y;J,\theta_1)$を定義し、$TY$を保存し、$J$から$\theta_1$-近いものとし、Deligne-Mumfordコンパクト化$\bar{\mathcal{M}}_{\ell+1}$に滑らかに依存する。
• 最後の$\ell = D\omega(A)$個のマークド点を$Y$に写像することにより、ドメイン曲線を安定化させ、自動的に横断性を達成する。
• ラベル付き木$T$上の$K$-擬正則球面のモジュライ空間$\mathcal{M}_T(A,K;Y)$を構成し、最後の$\ell$個のマークド点が$Y$上にあるものとし、それが実次元$2(n - 3 + k + c_1(A) - e(T))$の滑らかな多様体であることを証明する。
• 評価写像$\mathrm{ev}^k$を用いて不変量を定義し、Donaldsonペアのホモトピーおよびシンプレクティズム写像の下で有理コボルディズム不変性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉シンプレクティック多様体における$J$-擬正則球面の横断性は、シンプレクティック超曲面とマークド点の制約を用いて達成可能か？
• RQ2 これらの制約のもとで、安定写像のモジュライ空間は滑らかで、有限次元な多様体を形成するか？
• RQ3 genus zero Gromov-Witten 不変量は、シンプレクティック超曲面や almost complex 構造の選択に依存しない形で定義可能か？
• RQ4 得られる不変量は、補助的データ（例えば、シンプレクティズム写像や almost complex 構造の経路）のホモトピーの下でも保存されるか？
• RQ5 この手法は、一般多様体のFredholm理論に代わる、より単純な代替手法を提供できるか？

主な発見

• 任意の閉シンプレクティック多様体$(X^{2n}, \omega)$に対して$[\omega] \in H^2(X; \mathbb{Z})$が成り立ち、$D \geq D^*(X,\omega,J)$の度数を持つDonaldsonペア$(J,Y)$に対して、正則集合$\mathcal{J}^{\mathrm{reg}}_{\ell+1}(X,Y;J,\theta_1)$が存在し、モジュライ空間$\mathcal{M}_T(A,K;Y)$は実次元$2(n - 3 + k + c_1(A) - e(T))$の滑らかな多様体である。
• 評価写像$\mathrm{ev}^k: \mathcal{M}_{k+\ell}(A,K;Y) \to X^k$は擬サイクルであり、そのホモロジー類が明確に定義された genus zero Gromov-Witten 不変量を定義する。
• 有理コボルディズムの下で$\frac{1}{\ell_0!} \mathrm{ev}^k(J_0,Y_0) \sim \frac{1}{\ell_1!} \mathrm{ev}^k(J_1,Y_1)$が成り立ち、超曲面および almost complex 構造の選択に依存しないことを示す。
• 恒等写像にホモトープなシンプレクティズム写像の下でも不変量が保存されることを、経路に沿った有理コボルディズムによって示した。
• この構成はグルーピングに対して安定であり、2番目の超曲面$Y_1$に$ ell_1$個の追加マークド点を追加すると、$\ell_1!$次元の被覆写像が誘導され、等式$\mathrm{ev}^k(J_0,Y_0;K_0) \sim \frac{1}{\ell_1!} \mathrm{ev}^k(J_0,Y_0,J_1,Y_1;\pi_{\ell_0}^*K_0)$が成り立つ。
• この手法は多様体理論の完全な道具立てを避け、標準的関数解析に依存するのみで、genus zero Gromov-Witten 不変量のより単純で効果的な構成を実現する。