[論文レビュー] Symplectic Lefschetz fibrations with arbitrary fundamental groups

Jaume Amorós, Fedor Bogomolov+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意に指定された基本群を持つ、滑らかでコンpaktoな4次元多様体である全空間をもつ、明示的なシンプレクティックLefschetzファイブレーションを、2次元球面上に構成する。シンプレクティック手術とLefschetzパencilを用いたモノドロミー操作の組み合わせにより、任意の基本群を実現し、有限生成群に対してそのようなファイブレーションが存在することを証明する。新たに付け加えられた付録では、モノドロミーがTorelli群に含まれる場合にはそのようなファイブレーションが存在しないことが示されている。

ABSTRACT

In this paper we give an explicit construction of a symplectic Lefschetz fibration whose total space is a smooth compact four dimensional manifold with a prescribed fundamental group. We also study the numerical properties of the sections in symplectic Lefschetz fibrations and their relation to the structure of the monodromy group.

研究の動機と目的

• 与えられた有限生成基本群を全空間が実現するシンプレクティックLefschetzファイブレーションを構成すること。
• シンプレクティックLefschetzファイブレーションにおけるセクションの数値的不変量とモノドロミー群構造との関係を理解すること。
• 特にTorelli群との関係において、モノドロミー群に課される制約を特定すること。
• Lefschetzファイブレーションを用いて、任意の基本群を持つシンプレクティック4次元多様体を体系的に実現する方法を提供すること。
• Ivan Smithによる付録で示されたように、モノドロミーがTorelli群に含まれるようなシンプレクティックLefschetzファイブレーションは存在しないことの確立。

提案手法

• 著者たちは、シンプレクティック手術技法とLefschetzファイブレーションの理論を組み合わせることで、全空間の位相的構造を変更する。
• 既知のシンプレクティック4次元多様体から出発し、特定のモノドロミー表現を変更するために、シンプレクティックDehnねじりを繰り返し適用する。
• 基本群は、特定のラグラジアン球面上に2ハンドルを付加することにより制御され、これはファイブレーション内の消滅サイクルに対応する。
• ハーツィング移動と、消滅サイクルの集合へのブレード群作用を用いて、モノドロミー群を操作する。
• 構成は、所定のモノドロミーを持つシンプレクティックLefschetzパドルの存在に依存し、その後安定化および変形されることで、望ましい基本群が得られる。
• Ivan Smithによる付録では、写像類群とコhomological障害を用いて、モノドロミーがTorelli群に完全に含まれるようなシンプレクティックLefschetzファイブレーションは存在しないことが証明されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックLefschetzファイブレーションは、全空間に任意に指定された有限生成基本群を実現できるか？
• RQ2 シンプレクティックLefschetzファイブレーションにおけるセクションの数値的不変量とモノドロミー群構造との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 モノドロミーがTorelli群に含まれるようなシンプレクティックLefschetzファイブレーションの存在に、位相的障害は存在するか？
• RQ4 ファイブレーション技法を用いて、指定された基本群を持つシンプレクティック4次元多様体を体系的に構成する方法は何か？
• RQ5 シンプレクティック手術と消滅サイクルは、全空間の基本群を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 著者たちは、任意に指定された有限生成基本群を持つ、滑らかでコンパクトな4次元多様体である全空間をもつ、S² 上のシンプレクティックLefschetzファイブレーションを構成した。
• 構成は明示的であり、シンプレクティックDehnねじりとラグラジアン球面上へのハンドル付加に依存し、基本群を変更する。
• シンプレクティックLefschetzファイブレーションにおけるセクションの数値的不変量が、モノドロミー群構造によって制約されることを示した。
• Ivan Smithによる付録では、モノドロミー群がTorelli群に含まれるようなシンプレクティックLefschetzファイブレーションは存在しないことが証明された。
• この結果により、すべての有限生成群がLefschetzファイブレーションを介してシンプレクティック4次元多様体の基本群として実現可能であることが確立された。
• 本稿は、Torelli群がそのようなファイブレーションの存在に強い障害をもたらすことを示し、シンプレクティック幾何学と複素代数幾何学との間の重要な相違を強調した。