[論文レビュー] Symplectic, Multisymplectic Structures and Euler-Lagrange Cohomology

Hao Yang Guo, S.K. Wang+2 more|ArXiv.org|Apr 17, 2001

Numerical methods for differential equations参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、古典的力学および場の理論におけるEuler-Lagrangeコホモロジーとシンプレクティックおよび多重シンプレクティック構造を結びつける、きめ細やかなコホモロジー的枠組みを確立する。変分導関数を一般化するための自由パラメータ空間を導入することで、シンプレクティック／多重シンプレクティック構造の保存性が解空間だけでなく関数空間全体でも成り立つのは、Euler-Lagrangeコホモロジーが非自明かつ閉じている場合に限ることを証明し、既知のラグランジアンのないハミルトニアン型常微分方程式および偏微分方程式に対してもこのアプローチを拡張する。

ABSTRACT

We study the Euler-Lagrange cohomology and explore the symplectic or multisymplectic geometry and their preserving properties in classical mechanism and classical field theory in Lagrangian and Hamiltonian formalism in each case respectively. By virtue of the Euler-Lagrange cohomology that is nontrivial in the configuration space, we show that the symplectic or multisymplectic geometry and related preserving property can be established not only in the solution space but also in the function space if and only if the relevant closed Euler-Lagrange cohomological condition is satisfied in each case. We also apply the cohomological approach directly to Hamiltonian-like ODEs and Hamiltonian-like PDEs no matter whether there exist known Lagrangian and/or Hamiltonian associated with them.

研究の動機と目的

• 解空間を超えた古典的力学および場の理論におけるシンプレクティックおよび多重シンプレクティック構造のきめ細やかな幾何的基盤を確立すること。
• Euler-Lagrangeコホモロジーが、関数空間全体におけるシンプレクティック／多重シンプレクティック構造およびその保存則が成り立つかどうかを決定する役割を明確にすること。
• 既知のラグランジアンやハミルトニアンが存在しないハミルトニアン型常微分方程式および偏微分方程式に対しても、コホモロジー的アプローチを拡張すること。
• 自由パラメータ形式を通じて、関数空間における変分導関数と外微分法の統一的取り扱いを実現すること。
• 制約理論や高次元場の理論を含むより広範な系のクラスへ、コホモロジー的枠組みを一般化すること。

提案手法

• 配置空間のすべての方向における変分をパrameter化するための自由パラメータの族を導入し、一次および二次変分の統一的取り扱いを可能にする。
• 各基底多様体上の点において、自由パラメータ空間に関する微分として変分を扱うことで、関数空間上での外微分法を適用する。
• Euler-Lagrange条件の下で、1-形式の空間を用いてEuler-Lagrangeコホモロジーを定義し、零形式、コ boundary 形式、閉形式を区別する。
• Euler-Lagrange 1-形式の閉じ性というコホモロジー的条件を、関数空間におけるシンプレクティック／多重シンプレクティック構造保存性の必要十分条件として用いる。
• 古典的力学および場の理論におけるラグランジュ的およびハミルトニアン的形式にこの枠組みを適用し、コホモロジー的条件下で構造保存性が同等に成り立つことを示す。
• コホモロジー的基準を満たす人工的で作用に類似した、ラグランジュに類似した、およびハミルトニアンに類似した汎関数を構成することで、この手法をハミルトニアン型常微分方程式および偏微分方程式に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的力学において、シンプレクティック構造およびその保存則が解空間にとどまらず、関数空間全体でも成り立つのはどのような条件下か？
• RQ2 古典的場の理論における多重シンプレクティック構造およびその保存性は、Euler-Lagrangeコホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ3 Euler-Lagrangeコホモロジーの枠組みは、ラグランジアンやハミルトニアンが既知でない系、例えばハミルトニアン型常微分方程式および偏微分方程式に対しても適用可能か？
• RQ4 非自明なEuler-Lagrangeコホモロジーが、関数空間におけるシンプレクティック／多重シンプレクティック構造保存性を可能にする明確な役割は何か？
• RQ5 自由パラメータ形式は、無限次元関数空間における変分導関数と外微分法の統一的取り扱いをどのように実現するか？

主な発見

• 古典的力学において、シンプレクティック構造およびその保存性が関数空間全体で成り立つのは、Euler-Lagrangeコホモロジーが非自明であり、関連する1-形式が閉じている場合に限る。
• 古典的場の理論において、多重シンプレクティック構造およびその保存則は、Euler-Lagrangeコホモロジー的条件が満たされる場合に限り、解空間から関数空間へ拡張される。
• コホモロジー的アプローチは、既知のラグランジアンが存在しないハミルトニアン型常微分方程式および偏微分方程式に対しても、コホモロジー的基準を満たす人工的で作用に類似した汎関数を構成することで、うまく一般化できる。
• Euler-Lagrangeコホモロジーとシンプレクティック／多重シンプレクティック構造の保存性は、同一の事柄の二面であり、コホモロジーが構造保存性の必要十分条件を提供する。
• この枠組みにより、離散的および有限要素法におけるシンプレクティックおよび多重シンプレクティック構造保存スキームを、離散的状態へコホモロジー的条件を拡張することで導出可能になる。
• この手法により、同一のコホモロジー類に属する正確な形式の差異を有するハミルトニアン型系は、同じシンプレクティック／多重シンプレクティック構造および保存則を持つことが明らかになった。