[論文レビュー] Symplectic neighborhood of crossing divisors

Roberta Guadagni|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、直交して交わる有限個のシンプレクティック部分多様体のためのシンプレクティック近傍定理を確立し、ワインバーグのチューブ近傍定理を一般化する。各部分多様体の法束のシンプレクティックプラミングを構成し、その和集合の近傍が、プラミング内のゼロ切断の近傍とシンプレクティック同相であることを示す。コンpakトなリー群がシンプレクティックに作用する場合の同相的バージョンも含む。

ABSTRACT

This paper presents a proof of the existence of standard symplectic coordinates near a set of smooth, orthogonally intersecting symplectic submanifolds. It is a generalization of the standard symplectic neighborhood theorem. Moreover, in the presence of a compact Lie group $G$ acting symplectically, the coordinates can be chosen to be $G$-equivariant.

研究の動機と目的

• 直交して交わる有限個のシンプレクティック部分多様体のためのシンプレクティックチューブ近傍定理を一般化すること。
• 法束のプラミングを用いて、その和集合の近傍のシンプレクティックモデルを構成すること。
• すべての交わりにおいてモデルが整合的であり、シンプレクティック構造を保つようにすること。
• コンパクトなリー群の作用に対して同相的設定へ拡張すること。
• ケーラー幾何における退化や一般化されたシンプレクティック和の理解の基盤を提供すること。

提案手法

• 各 $NX_i$ の法束に、シンプレクティック適合性を保証する追加データを含む剛体プラミング構成を定義する。
• 各 $NX_i$ 上の接続 $\alpha_i$ を用いて、法束上に閉で非退化な2形式 $\omega_{\alpha_i}$ を定義する。
• 埋め込み $\phi_i$ と $\phi_j$ 間の整合性条件を、両方の埋め込みを通して因数分解する共通の埋め込み $\phi_{ij}$ を通じて確立する。
• 接続が適合し、交わりが直交している場合、そのようなプラミングが全空間にシンプレクティック形式 $\omega_{\mathcal{I}}$ を持つことを証明する。
• 同相的状況では、$G$-不変な接続と $G$-同相的シンプレクティック埋め込みを、同相的スプリット写像を用いて構成する。
• 帰納法と局所モデルの構成を適用し、$M$ 上の $\bigcup X_i$ 近傍におけるシンプレクティック形式が、$\bigcup T X_i$ への制限によって完全に決定されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交して交わる有限個のシンプレクティック部分多様体の和集合に対して、標準的なシンプレクティック近傍が存在するか？
• RQ2 複数の交わる部分多様体間で、シンプレクティックチューブ近傍埋め込みをどのように整合させられるか？
• RQ3 法束のプラミングを用いて、その和集合のためのグローバルなシンプレクティックモデルを構成可能か？
• RQ4 コンパクトなリー群の作用に対して、この構成を同相的にできるか？
• RQ5 正の交わりと標準的シンプレクティックモデルの存在との関係は何か？

主な発見

• 直交して交わる有限個のシンプレクティック部分多様体の和集合のシンプレクティック近傍は、それらの法束のシンプレクティックプラミング内のゼロ切断の近傍とシンプレクティック同相である。
• 近傍上のシンプレクティック形式は、$\omega$ を部分多様体の接空間に制限したものの制限によって完全に決定され、これは補題1で示されている。
• 互いに適合するシンプレクティック埋め込み $\phi_i$ が存在し、それらの共通交わりが、両方の $\phi_i$ と $\phi_j$ を通して因数分解するシンプレクティック埋め込み $\phi_{ij}$ でモデル化される。
• コンパクトなリー群 $G$ がシンプレクティックに作用する場合、$G$-同相的接続を選ぶことで、シンプレクティック近傍とプラミングを $G$-同相的にできる。
• この結果は、一般化されたシンプレクティック和やミラー対称性に関連するケーラー多様体の退化族の局所モデルを提供する。
• 正の交わりを持つ部分多様体に対しては、それらを直交する交わりへ変形するシンプレクティック同相が存在し、変形後に本定理を適用可能となる。