[論文レビュー] Symplectic reflection algebras, Calogero-Moser space, and deformed Harish-Chandra homomorphism

Pavel Etingof, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Nov 16, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、有限群 Γ ⊂ Sp(V) に対する smash 積代数 ℂ[V]#Γ の多パラメータ変形としてシンプレクティック反射代数を導入し、マケイ対応のシンプレクティック版を確立する。この論文は、𝔤𝔩_n 上の不変微分作用素からシンプレクティック反射代数の球的部分代数への変形されたハリシ・チャンドラ準同型を構成し、2階ラプラシアンがカルジエロ＝モーザー作用素へ写ることを示し、H_∞ がカルジエロ＝モーザー空間上に存在する特別なベクトル束の自己準同型代数に同型であることを証明する。そのファイバーは S_n の正則表現を担う。

ABSTRACT

To any finite group G of automorphisms of a symplectic vector space V we associate a new multi-parameter deformation, H_k, of the smash product of G with the polynomial algebra on V. The algebra H_k, called a symplectic reflection algebra, is related to the coordinate ring of a universal Poisson deformation of the quotient singularity V/G. If G is the Weyl group of a root system in a vector space h and V=h\oplus h^*, then the algebras H_k are `rational' degenerations of Cherednik's double affine Hecke algebra. Let G=S_n, the Weyl group of g=gl_n. We construct a 1-parameter deformation of the Harish-Chandra homomorphism from D(g)^g, the algebra of invariant polynomial differential operators on gl_n, to the algebra of S_n-invariant differential operators with rational coefficients on C^n. The second order Laplacian on g goes, under the deformed homomorphism, to the Calogero-Moser differential operator with rational potential. Our crucial idea is to reinterpret the deformed homomorphism as a homomorphism: D(g)^g o {spherical subalgebra in H_k}, where H_k is the symplectic reflection algebra associated to S_n. This way, the deformed Harish-Chandra homomorphism becomes nothing but a description of the spherical subalgebra in terms of `quantum' Hamiltonian reduction. In the classical limit k -> \infty, our construction gives an isomorphism between the spherical subalgebra in H_\infty and the coordinate ring of the Calogero-Moser space. We prove that all simple H_\infty-modules have dimension n!, and are parametrised by points of the Calogero-Moser space. The algebra H_\infty is isomorphic to the endomorphism algebra of a distinguished rank n! vector bundle on this space.

研究の動機と目的

• 商特異点 V/Γ のための非可換代数を用いた変形理論を展開すること、特に smash 積 ℂ[V]#Γ に対して。
• 有限部分群 Γ ⊂ Sp(V) に対してシンプレクティック反射代数 H_κ を用いて、マケイ対応のシンプレクティック版を確立すること。
• 𝔤𝔩_n 上の不変微分作用素から ℂ^n 上の有理係数微分作用素への 1 パラメータ変形されたハリシ・チャンドラ準同型を構成すること。
• H_κ の古典的極限 (κ → ∞) がカルジエロ＝モーザー空間の座標環と同型であり、H_∞ が S_n ファイバーを備えたベクトル束の自己準同型代数として実現されることを示すこと。
• すべての単純 H_∞-加群が次元 n! を持ち、カルジエロ＝モーザー空間の点によってパrameter化されることを証明すること。

提案手法

• シンプレクティック反射 κ: V×V → ℂΓ による歪対称ペアリングを符号化する関係を用いて、テンソル代数 TV#Γ の商としてシンプレクティック反射代数 H_κ を定義する。κ は Γ 内のシンプレクティック反射の共役類によってパrameter化される。
• 量子ハミルトニアン還元を用いて、変形されたハリシ・チャンドラ準同型を、D(𝔤)^𝔤 から H_κ の球的部分代数への全射として再解釈する。
• 径方向部分構成を用いて径方向部分写像を構成し、D(𝔤)^𝔤 を ℂ^n 上の有理係数微分作用素に還元する。
• 変形された準同型による2階ラプラシアンの像が、有理ポテンシャルを持つカルジエロ＝モーザー微分作用素に一致することを同定する。
• 古典的極限 (κ → ∞) において、H_∞ の球的部分代数がカルジエロ＝モーザー空間の座標環と同型であることを証明する。
• H_∞ がカルジエロ＝モーザー空間上に存在するランク n! のベクトル束の自己準同型代数に同型であることを確立する。そのファイバーは S_n の正則表現を担う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 Γ ⊂ Sp(V) に対して、商特異点 V/Γ のシンプレクティック幾何を捉える変形代数 ℂ[V]#Γ をどのように構成できるか？
• RQ2 シンプレクティック反射代数とカルジエロ＝モーザー空間の幾何の関係、特に古典的極限における関係は何か？
• RQ3 変形されたハリシ・チャンドラ準同型は、𝔤𝔩_n 上の不変微分作用素とシンプレクティック反射代数の球的部分代数をどのように関係付けるか？
• RQ4 単純 H_∞-加群のカテゴリの構造は何か？また、それらはどのようにパrameter化されるか？
• RQ5 シンプレクティック反射代数 H_κ は量子ハミルトニアン還元として解釈可能か？これにより関連するモジュライ空間の幾何にどのような含意が生じるか？

主な発見

• シンプレクティック反射代数 H_κ は、Γ 内のシンプレクティック反射の共役類によってパrameter化される多パラメータ変形であり、ℂ[V]#Γ の変形である。
• 変形されたハリシ・チャンドラ準同型は、𝔤-invariant な微分作用素の代数 D(𝔤)^𝔤 を H_κ の球的部分代数に写し、2階ラプラシアンはカルジエロ＝モーザー作用素へ写る。
• 古典的極限 (κ → ∞) において、H_∞ の球的部分代数はカルジエロ＝モーザー空間の座標環と同型である。
• すべての単純 H_∞-加群は次元 n! を持ち、カルジエロ＝モーザー空間の点によってパrameter化される。
• 代数 H_∞ は、カルジエロ＝モーザー空間上に存在する特別なベクトル束の自己準同型代数に同型であり、そのファイバーは S_n の正則表現を担う。
• 調和多項式から構成される微分作用素 S_𝔞 の径方向部分は、カルジエロ＝モーザー空間上のシフト作用素を生じ、その主記号はウェイル分母に等しい。