[論文レビュー] Symplectic resolutions: deformations and birational maps

D. Kaledin|ArXiv.org|Dec 3, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、同じアフィンシンプレクティック多様体の2つの正則的シンプレクティック解消が、技術的有限生成グレーデッド代数条件のもとで変形同値であることを確立する。また、シンプレクティック解消が半小であることを証明し、シンプレクティック多様体のロジックフラップが滑らかでシンプレクティックな多様体をもたらすことを示し、デフォーメーション理論とツイスター法を用いて、ヒューブレヒトスのハイパーカイラー多様体に関するグローバル結果の局所的類似を与える。

ABSTRACT

Unfortunately, some proofs in the first version of this paper were incorrect. In this revised version, some minor gaps are fixed, one serious mistake found. The main theorem is now claimed only under a restrictive technical assumption. This invalidates the application to quotient singularities by the Weyl group of type $G_2$. Everything else still stands (in particular, the claim that every symplectic resolution is semismall).

研究の動機と目的

• コンパクトなハイパーカイラー多様体に関するヒューブレヒトスのグローバル変形同値性結果の局所的類似を、特異なアフィン多様体のシンプレクティック解消に焦点を当てて確立すること。
• 正則的シンプレクティック解消が同じ正規アフィン多様体に対して与えられる場合、有限生成グレーデッド代数条件（条件5.1）を仮定すれば、それらが変形同値であることを証明すること。
• 正則的シンプレクティック射影多様体のロジックフラップが滑らかでシンプレクティックであることを示し、この文脈におけるロジックフラップ予想の存在部分を証明すること。
• シンプレクティック設定におけるクレパント解消が滑らかなものと変形同値であり、滑らかさが変形理論的議論により事後的に示せることを示すこと。
• 特にデメールリとパウンの深い解析的定理に依存しない代数的代替手法を提供すること。

提案手法

• 形式的円盤 $\operatorname{Spec} \mathbb{C}[[t]]$ 上のデフォーメーション理論を用いて、解消の1パラメータ族とその中心ファイバーを構成する。
• ツイスター変形技法を適用し、基底 $S = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[[t]]$ 上の族 $\mathcal{X}'$ を構成する。その一般ファイバーは解消 $X'$ に同型であり、特別ファイバーは元の解消である。
• コホホロジーの消失とコホモロジー的消失を用いて、微小変形の自明性を示し、局所的積構造と滑らかさを導く。
• 相対的シンプレクティック形式とその引き戻しにより、相対接空間複体の自明性が導かれ、結果としてデフォーメーションの自明性と全体空間の滑らかさが得られる。
• 構造層の直接像と $\operatorname{Ext}$ 群などの代数的幾何的道具を用いて、切断の余接バンドルが一定であることを示し、滑らかさを導く。
• フラップの一意性（コラール＝モリ）と $\mathbb{Q}$-因子性に依存し、デフォーメーションとフラップ構成の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じアフィンシンプレクティック多様体の2つの正則的シンプレクティック解消は、変形同値であるか？
• RQ2 正則的シンプレクティック射影多様体のロジックフラップは、滑らかでシンプレクティックのままであるか？
• RQ3 事前に滑らかさを仮定せず、変形理論的性質からクレパント解消の滑らかさを導けるか？
• RQ4 多様体 $X$ がシンプレクティックで $Y$ がアフィンかつ正規であるとき、写像 $\pi: X \to Y$ の幾何的性質は何か？
• RQ5 シンプレクティック解消の変形が、いつシンプレクティックかつ滑らかのままであるか？

主な発見

• 解消写像 $\pi: X \to Y$ は必然的に半小である。すなわち、ストラトゥム上のファイバーの次元は、ストラトゥムの余次元の半分以下に制限される。
• 正則的シンプレクティック解消 $X_1 \to Y$ と $X_2 \to Y$ が、解消に関連するグレーデッド代数が有限生成（条件5.1）である限り、変形同値である。
• 極小収縮に関する正則的シンプレクティック多様体 $X$ のロジックフラップ $X'$ は、自身が滑らかで、正則的シンプレクティック形式を持つ。
• 族 $\mathcal{X}_1$、$\mathcal{X}_2$、$\mathcal{Y}$ の一般ファイバーは同型であり、アフィン的である。また、変形は解消写像と整合する。
• 全体空間 $\mathcal{X}'$ とファイバー $X'$ の滑らかさは、Kodaira-Spencer類の自明性とスキームの正規性に起因し、コホモロジーの消失と $\operatorname{Ext}$-群の議論により得られる。
• シンプレクティック形式は開かつ稠密な部分集合から全体の多様体 $X'$ にまで拡張可能であり、$X'$ が正則的シンプレクティックであることを保証する。