[論文レビュー] Symplectic Resolutions for Quotient Singularities

Baohua Fu|ArXiv.org|Jun 27, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、滑らかな複素代数的多様体 $X$ の余接 bundle $T^*X$ が、シンプレクティック形式を保存する有限群 $G \subset \mathrm{Aut}(X)$ によって商 taken された場合、$T^*X/G$ がシンプレクティック解体をもつならば、$X/G$ は滑らかであり、解体 $Z$ は $T^*(X/G)$ に同型な開部分集合を含むことを確立する。主な貢献は、$X = \mathbb{P}^n$ かつ $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ の場合に、群の元の固有値の重複度を用いて、このような解体のホッジ数に対する McKay 型対応を示すことである。

ABSTRACT

We give some necessary conditions for the existence of a symplectic resolution for quotient singularities. The McKay correspondence is also worked out for these resolutions.

研究の動機と目的

• $T^*X/G$ がシンプレクティック解体をもつための必要条件を同定すること。
• もし $T^*X/G$ がシンプレクティック解体をもつならば、解体 $Z$ の幾何的構造を確立すること。
• $X = \mathbb{P}^n$ かつ $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ の場合に、解体 $Z$ のホッジ数に対する McKay 対応型の公式を確立すること。
• $G$ の群論的データから、$Z$ の位相的不変量（例えばオイラー標数）を導出すること。

提案手法

• $T^*X/G$ に作用する ${\mathbb{C}}^*$-作用とその解体 $Z$ への引き上げを用いて、シンプレクティック形式の重みを解析し、等価解体技術を適用する。
• Kaledin と Fu のシンプレクティック解体および ${\mathbb{Q}}$-因子的性に関する結果を用いて、固定点集合 $\bigcup_{g \neq 1} \mathrm{Fix}(g)$ を制約する。
• 軌道 E-関数と E-多項式を用いて、解体 $Z$ のホッジ理論的不変量を計算する。
• $Z$ のホッジ多項式を $G$ の共役類および $g \in G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ の固有値の重複度 $k_i(g)$ と関連付ける。
• 固定点集合 $X^g$ 及びその中心化群による商のファイブレーション構造を用いて、E-多項式を計算する。
• Poincaré双対性と変数変換を適用し、$Hilb^n(T^*\Sigma)$ のベッチ数の母関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が $T^*X$ 上にシンプレクティックに作用するとき、$T^*X/G$ が何時シンプレクティック解体をもつのか。
• RQ2 もし $T^*X/G$ がシンプレクティック解体をもつならば、その解体 $Z$ が満たすべき幾何的構造は何か。
• RQ3 $X = \mathbb{P}^n$ かつ $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ の場合に、$Z$ のホッジ数に対する McKay 対応型の公式を確立できるか。
• RQ4 $Z$ のベッチ数およびオイラー標数は、$G$ の共役類および固有値データとどのように関係するか。
• RQ5 滑らかな射影曲線 $\Sigma$ に対して、ヒルベルトスキーム $Hilb^n(T^*\Sigma)$ のコホホロジーは何か。

主な発見

• $T^*X/G$ がシンプレクティック解体をもつならば、$X/G$ は滑らかであり、解体 $Z$ は $T^*(X/G)$ に同型な開部分集合を含む。
• $X = \mathbb{P}^n$ かつ $G \subset SL(n+1,\mathbb{C})$ の場合、解体 $Z$ のホッジ多項式は $\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(Z)u^p v^q = (uv)^n \sum_{\{g\}} \sum_i \frac{(uv)^{k_i(g)} - 1}{uv - 1}$ で与えられる。ここで $k_i(g)$ は $g \in G$ の固有値の重複度である。
• $Z$ のオイラー標数は $e(Z) = (n+1) c(G)$ であり、$c(G)$ は $\mathrm{Aut}(\mathbb{P}^n)$ 内の $G$ の共役類の数である。
• $H^{2j+1}(Z,\mathbb{C}) = 0$ がすべての $j$ に対して成り立ち、$H^{2i}(Z,\mathbb{C})$ はすべての $i$ に対して $(i,i)$-型のホッジ成分のみをもち、$i < n$ のとき $H^{2i}(Z,\mathbb{C}) = 0$ である。
• $Hilb^n(T^*\Sigma)$ のベッチ数の母関数は $\sum_{n=0}^\infty P_t(Hilb^n(T^*\Sigma)) q^n = \prod_{d=1}^\infty \frac{(1 + t^{2d-1} q^d)^{b_1(\Sigma)}}{(1 - t^{2d-2} q^d)^{b_0(\Sigma)} (1 - t^{2d} q^d)^{b_2(\Sigma)}}$ で与えられ、Göttsche の公式が回復される。
• $X = \mathbb{C}^n$ かつ $G$ がシンプレクティックに作用するとき、解体 $Z$ は単連結かつ有理的である。