[論文レビュー] Symplectic resolutions of the Hilbert squares of ADE surface singularities

Ryo Yamagishi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ADE型表面特異点における2点のヒルベルトスキームの解析的胚が、対応するADE型リー代数における部分部分正則な冪零軌道を通過するスロドウイスライスに同型であることを確立している。シンプレクティック解消とその中心ファイバーのシンプレクティックおよびポisson構造を用いた分析により、特異点の型が中心ファイバーによって一意に決定されることを証明し、古典的なブリースコーン＝スロドウイの結果を部分正則軌道から部分部分正則軌道へ拡張している。

ABSTRACT

We study symplectic resolutions of the Hilbert scheme of two points on a surface with one ADE-singularity. We also characterize such singularities by central fibers of their symplectic resolutions. As an application, we show that these singularities are isomorphic to the Slodowy slices which are transversal to the `sub-subregular' orbits in the nilpotent cones of ADE-types.

研究の動機と目的

• シンプレクティック解消の中心ファイバーを用いて、ADE型表面特異点を特徴付けること。
• 特異点の解析的型が、解消における中心ファイバーの同型型によって決定されることを示すこと。
• ADE型表面特異点上の2点のヒルベルトスキームとADE型リー代数におけるスロドウイスライスとの間の対応関係を確立すること。
• ブリースコーン＝スロドウイ理論を部分正則軌道から部分部分正則軌道へ拡張すること。

提案手法

• 最小解消Γ̃からの逐次的ブ low-up およびムカイのフロップを用いて、ADE型表面特異点ΓのHilb²(Γ)のシンプレクティック解消を構成する。
• Hilb²(Γ)の定義方程式および解消における中心ファイバーFの構造を明示的に記述する。
• シンプレクティックおよびポアソン構造を用いて中心ファイバーの形式的近傍を分析し、それがファイバー自身によって決定されることを示す。
• 形式的近傍のグローバル構造がコホモロジー群によって制御され、同型を除いて一意に決定されることを証明する。
• Hilb²(Γ)のシンプレクティック解消の中心ファイバーとADE型リー代数におけるスロドウイスライスの中心ファイバーを比較する。
• ローリストによる部分部分正則軌道のスプリンガーファイバーの記述を用いて、中心ファイバーの同型を示し、特異点の胚同型に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元のシンプレクティック特異点の解析的型は、シンプレクティック解消における中心ファイバーの同型型によって一意に決定されるか？
• RQ2 ADE型表面特異点上の2点のヒルベルトスキームとADE型リー代数におけるスロドウイスライスとの間に対応関係が存在するか？
• RQ3 Hilb²(Γ)のシンプレクティック解消の中心ファイバーと、部分部分正則軌道を通るスロドウイスライスの中心ファイバーは一致するか？
• RQ4 シンプレクティックおよびポアソン構造は、シンプレクティック解消におけるラグランジュ部分多様体の形式的近傍をどのように制約するか？
• RQ5 ブリースコーン＝スロドウイの結果を部分正則軌道から部分部分正則軌道へ拡張できるか？

主な発見

• Hilb²(Γ)のシンプレクティック解消の中心ファイバーは、定理3.6で示されるように、特異点の解析的型を一意に決定する。
• 解消における中心ファイバーの形式的近傍は、そのファイバーの余接バンドルと同型であり、そのグローバル構造はファイバーの同型型によって一意に決定される。
• An型（n ≥ 3）およびEn型では、ヒルベルトスキームHilb²(Γ)と部分部分正則軌道を通るスロドウイスライスの中心ファイバーが同型である。
• Dn型（n ≥ 4）では、0次元のシンプレクティック葉が型が一致するように選ばれた場合、Hilb²(Γ)とスロドウイスライスの中心ファイバーが同型である。
• Hilb²(Γ)の唯一の0次元シンプレクティック葉における解析的胚は、定理4.2で述べられるように、部分部分正則軌道におけるスロドウイスライスの解析的胚と同型である。
• An型に対する結果はマノレスクの研究を拡張するものであり、著者らはDn型およびEn型に対しても同様の結果が成り立つ可能性を予想している。さらに、非単純型のケースに対しても同様の結果が成り立つ可能性があると考察している。