[論文レビュー] The Hilbert schemes of points on surfaces with rational double point singularities

Xudong Zheng|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、至るところに有理二重点（ADE）特異点をもつ正則な準射的表面に対して、任意の d > 0 に対して、点のヒルベルト scheme が非可約であることを証明している。これは、Fogartyの滑らかさ結果を特異点をもつ表面へ一般化したものである。証明は、ADE特異点上の反射的加群および行列因子分解の変形理論に依拠しており、次元 0 の部分スキームの幾何は、有限型のサイジージ・モジュールによって制御されることを示している。

ABSTRACT

We prove that the Hilbert scheme of points on a normal quasi-projective surface with at worst rational double point singularities is irreducible.

研究の動機と目的

• 有理二重点（ADE）特異点をもつ表面における点のヒルベルト scheme の非可約性を確立すること。
• 滑らかな表面に関する古典的結果（例えば、Fogartyの滑らかさ定理）を、軽微な特異点をもつ特異点付き表面へ拡張すること。
• 特異点付き表面におけるヒルベルト scheme が非可約のままであるかどうかを検討すること、特に、ねじれ立方曲線の円錐のような既知の非可約な例と対照的である。
• 特に、アフィン放物面の円錐におけるヒルベルト＝チャウ写像の吹き上げ記述を含む幾何的応用を提供すること。
• 特異点付き表面における可縮でない次元 0 の部分スキームの境界を明確にすること。

提案手法

• ADE特異点上の反射的加群の分類を用い、これらは有限個であり、行列因子分解を用いて自由分解をもつ。
• 反射的加群の変形理論を用いて、特異点に台を持つ次元 0 の部分スキームの埋め込み変形を研究する。
• ヒルベルト＝バーサの定理およびホモロジー代数を用いて、理想層の局所構造およびその分解を分析する。
• グラスマンニアン上のパフリアン構成を用いて、特異点の接錐内での長さ 8 のスキームの可縮性を検出する。
• シューベルト計算を適用し、埋め込み次元 4 の一般の ADE 型特異点に対して、d ≥ 8 のときヒルベルト scheme が非可約になることを示す。
• アービトラリーな非可縮部分スキームを、アービトラリーなヒルベルト scheme 内でのイデアルの包含関係および接空間次元の比較によって構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理二重点特異点をもつ表面における点のヒルベルト scheme は、任意の d > 0 に対して非可約か？
• RQ2 滑らかな表面におけるヒルベルト scheme の滑らかさ基準を、ADE 特異点をもつ表面へ一般化できるか？
• RQ3 アフィン放物面の円錐のような特異点付き表面におけるヒルベルト＝チャウ写像の幾何的構造は何か？
• RQ4 どの種の特異点付き表面に対してヒルベルト scheme が非可約になり、その最小の d は何か？
• RQ5 特異点付き表面におけるどの次元 0 の部分スキームが可縮でないか、そしてそれが代数的にどのように検出できるか？

主な発見

• 任意の至るところに有理二重点（ADE）特異点をもつ準射的正則表面 X および任意の d > 0 に対して、ヒルベルト scheme $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ は非可約である。
• 次元 $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ は $2d$ であり、滑らかな場合と一致する。点 $[Z]$ において $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ が滑らかであることは、理想 $I_Z$ が $X$ 上で有限ホモロジー次元をもつことと同値である。
• $A_n$-特異点 $X = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z]/\langle xz - y^{n+1}\rangle)$ に対して、ヒルベルト scheme $\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ はどこでも消えない $2d$-形式をもつ。
• アフィン放物面の円錐 $Q = \mathrm{Spec}(\mathbb{C}[x,y,z]/\langle xz - y^2\rangle)$ に対して、ヒルベルト＝チャウ写像は、$Q^{(d)}$ の $S_d$-交代関数の積のイデアルに沿った吹き上げと同型である。
• ねじれ立方曲線の円錐に対して、$\mathrm{Hilb}^{8}(X)$ は非可約であり、長さ 8 の非可縮部分スキームが存在する。これは接空間次元 $29 < 32$ により示される。
• 埋め込み次元 4 の一般の有理表面特異点（3 つの二次形式で定義される）に対して、$\mathrm{Hilb}^{d}(X)$ は $d \geq 8$ のとき非可約であり、パフリアン退化およびシューベルト計算により示される。