[論文レビュー] Syntactic Complexity of Finite/Cofinite, Definite, and Reverse Definite Languages

Janusz Brzozowski, David Liu|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2012

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、状態複雑性 $n$ の関数として、有限／共有限、決定的、および逆決定的言語の句構文的複雑性を、その句構文的マグマのサイズを分析することによって調査する。有限／共有限および逆決定的言語に対しては、$(n-1)!$ のタイトな上界を確立し、決定的言語に対しては、$ e\cdot(n-1)!\uf0e9$ がタイトな上界であると仮説を立て、$n \leq 4$ に対して検証され、それに応じたアルファベットサイズの要件が示されている。

ABSTRACT

We study the syntactic complexity of finite/cofinite, definite and reverse definite languages. The syntactic complexity of a class of languages is defined as the maximal size of syntactic semigroups of languages from the class, taken as a function of the state complexity n of the languages. We prove that (n-1)! is a tight upper bound for finite/cofinite languages and that it can be reached only if the alphabet size is greater than or equal to (n-1)!-(n-2)!. We prove that the bound is also (n-1)! for reverse definite languages, but the minimal alphabet size is (n-1)!-2(n-2)!. We show that \lfloor e\cdot (n-1)! floor is a lower bound on the syntactic complexity of definite languages, and conjecture that this is also an upper bound, and that the alphabet size required to meet this bound is \floor{e \cdot (n-1)!} - \floor{e \cdot (n-2)!}. We prove the conjecture for n\le 4.

研究の動機と目的

• 状態複雑性 $n$ の関数として、有限／共有限、決定的、および逆決定的言語の最大句構文的複雑性（句構文的マグマのサイズ）を特定すること。
• 各クラスで最大句構文的複雑性に到達するために必要な最小アルファベットサイズを特定すること。
• 有限／共有限および逆決定的言語に対してタイトな上界を確立し、決定的言語に対しては上界を仮説し、検証すること。
• 決定的言語と逆決定的言語の間の句構文的複雑性の境界における非対称性が、双対性にもかかわらず持続する理由を解明すること。
• ドット・ディープネス階層内のスター自由言語の部分クラスにおける句構文的複雑性の理解を拡張すること。

提案手法

• 句構文合同関係とマイヒル＝ネロード同値を用いて、各言語クラスの最小DFAの変換マグマを特徴付ける。
• 決定的言語に対応する変換マグマ $B_n$ を定義し、その構造と生成子を特定する。
• 組合せ的数え上げ技術を用いて、$B_n$ の最小生成集合 $H_n$ のサイズを計算し、$|H_n| = \lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ を得る。
• その変換マグマの構造的性質を用いて、逆決定的および有限／共有限言語の句構文的複雑性が正確に $(n-1)!$ であることを証明する。
• 導出された境界と一致するアルファベットサイズを持つ $n$ 状態の最小DFAを構築し、到達可能性と区別可能性を用いて最小性と正しさを証明する。
• 指数型母関数と階乗に基づく境界を用いて、特に決定的言語における句構文的複雑性の成長を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態複雑性 $n$ の有限／共有限言語の句構文的複雑性のタイトな上界は何か？
• RQ2 状態複雑性 $n$ の逆決定的言語の句構文的複雑性のタイトな上界は何か？
• RQ3 状態複雑性 $n$ の決定的言語で達成可能な最大の句構文的複雑性は何か？ また、それを達成するために必要なアルファベットサイズは何か？
• RQ4 決定的言語に対して、$ e(n-1)!\uf0e9$ の上界がすべての $n$ に対して証明可能か？
• RQ5 句構文合同関係が対称であるにもかかわらず、なぜ句構文的複雑性の境界に左右非対称性が持続するのか？

主な発見

• 状態複雑性 $n$ の有限／共有限言語の句構文的複雑性は正確に $(n-1)!$ であり、この上界は、アルファベットサイズが $(n-1)! - (n-2)!$ 以上である場合にのみタイトである。
• 状態複雑性 $n$ の逆決定的言語の句構文的複雑性も $(n-1)!$ であるが、この上界に到達するにはアルファベットサイズが $(n-1)! - 2(n-2)!$ 必要である。
• 決定的言語に関しては、$ e(n-1)!\uf0e9$ が句構文的複雑性の下界であり、この上界はアルファベットサイズ $\lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ を用いて達成可能である。
• 決定的言語に対して $ e(n-1)!\uf0e9$ がタイトな上界であるという仮説は、$n \leq 4$ の場合に証明された。
• 決定的言語の変換マグマ $B_n$ の最小生成集合 $H_n$ のサイズは $\lfloor e(n-1)!\rfloor - \lfloor e(n-2)!\rfloor$ であり、これは必要なアルファベットサイズと一致する。
• $n$ 状態と変換マグマ $B_n$ を持つ最小DFAの構築により、受理される言語が決定的であることが確認され、句構文的複雑性が $\lfloor e(n-1)!\rfloor$ であることが示された。