[論文レビュー] Synthetic geometry of differential equations: I. Jets and comonad structure

Igor Khavkine, Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微分的同調トポスにおける「無限小形状」関手 $\Im$ の単位に沿ったベースチェンジとしてのコモノイドとして一般化されたジャンボルの構成を用いて、偏微分方程式（PDE）のための合成的微分幾何学枠組みを構築する。PDEの形式的可積分性のカテゴリが、この合成的ジャンボルコモノイドのコモノイド代数のEilenberg-Mooreカテゴリに同値であることが確立され、古典的PDE理論が超幾何学的および高階微分幾何学的文脈に統合される。

ABSTRACT

We give an abstract formulation of the formal theory partial differential equations (PDEs) in synthetic differential geometry, one that would seamlessly generalize the traditional theory to a range of enhanced contexts, such as super-geometry, higher (stacky) differential geometry, or even a combination of both. A motivation for such a level of generality is the eventual goal of solving the open problem of covariant geometric pre-quantization of locally variational field theories, which may include fermions and (higher) gauge fields. (abridged)

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体を超えた文脈、例えば超幾何学的、高階微分幾何学的、およびスタック的設定を含むように、PDEの形式的理論を一般化すること。
• フェルミオンとゲージ場を含む局所的可積分な場の理論における、共変的幾何的前量子化の未解決問題を解消すること。
• 古典的構成を包含・一般化する、合成的かつトポス論的枠組みによるジャンボルバンドルおよびPDEの定式化を提供すること。
• 任意の微分的同調トポスにおいて、形式的可積分PDEの自然な定義を確立すること。
• このようなPDEのカテゴリが、合成的ジャンボルコモノイドのEilenberg-Mooreカテゴリに同値であることを示すこと。これは、VinogradovおよびMarvanの結果を一般化する。

提案手法

• 『無限小形状』関手 $\Im$ の単位に沿ったベースチェンジとしてのジャンボルバンドル構成を一般化し、コモノイドを構成する。
• 合成的ジャンボルコモノイド $J^\infty_\Sigma$ を、形式的ディスクバンドル関手 $T^\infty_\Sigma$ の右随伴として定義し、随伴関係 $T^\infty_\Sigma \dashv J^\infty_\Sigma$ を形成する。
• 合成的ジャンボルコモノイド $J^\infty_\Sigma$ のコモノイド代数のEilenberg-Mooreカテゴリを用いて、一般トポスにおける形式的可積分PDEのカテゴリを定義する。
• コモノイド構造を用いて、通常の多様体上での古典的PDE理論を回復し、MarvanのコモノイドおよびVinogradovのカテゴリと一致することを示す。
• 関連する例において $\Im$ の単位がエピモルフィズムであることを活用し、PDEのカテゴリとスライスカテゴリ $\mathbf{H}_{/\Im\Sigma}$ の同値性を示す。
• 形式的滑らか集合および局所的プロ多様体を含む合成的微分幾何学的およびトポス論的道具を用いて、一般化された空間および射を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体を超えた文脈、例えば超多様体や高階スタックにおいて、PDEの形式的理論をどのように一般化できるか。
• RQ2 合成的微分幾何学におけるジャンボルバンドルの背後にある圏論的構造は何か。また、これはMarvanのコモノイド構成を一般化するか。
• RQ3 微分的同調トポスにおいて、形式的可積分PDEの統一的で合成的な定義を与えることは可能か。
• RQ4 空間 $\Sigma$ 上のPDEのカテゴリが、$\Im\Sigma$ 上のスライスカテゴリに簡略化される条件は何か。
• RQ5 この合成的枠組みは、フェルミオンとゲージ場を含む局所的可積分な場の理論の幾何的前量子化をどのように支援するか。

主な発見

• 合成的ジャンボルコモノイド $J^\infty_\Sigma$ は、無限小形状関手 $\Im$ の単位に沿ったベースチェンジコモノイドとして構成され、古典的ジャンボル構成を一般化する。
• 任意の微分的同調トポスにおける形式的可積分PDEのカテゴリは、$J^\infty_\Sigma$ のコモノイド代数のEilenberg-Mooreカテゴリに同値である。すなわち、$\mathrm{PDE}_{/\Sigma}(\mathbf{H}) \simeq \mathrm{EM}(J^\infty_\Sigma)$。
• 単位 $\Im$ がエピモルフィズムであるとき、PDEのカテゴリはスライスカテゴリ $\mathbf{H}_{/\Im\Sigma}$ に同値となり、便利なサイト表現が得られる。
• 通常の多様体上では、合成的ジャンボルコモノイドはMarvanのコモノイドを回復し、得られるPDEのカテゴリはVinogradovのカテゴリと一致する。これにより、一般化の妥当性が裏付けられる。
• この枠組みは、$J^\infty_\Sigma$ のコクリスティー・カテゴリを用いて一般化された微分作用素を自然に扱うことができ、$\mathrm{DiffOp}_{/\Sigma}(\mathbf{H}) \simeq \mathrm{Kl}(J^\infty_\Sigma|_{\mathcal{C}})$ が成り立つ。
• 切断 $\sigma: \Sigma \to E$ のジャンボル延長は $j^\infty\sigma: \Sigma \to J^\infty_\Sigma E$ として与えられ、ジャンボル拡張の普遍性が実現される。