[論文レビュー] Differential cohomology in a cohesive infinity-topos

Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 136被引用数 87

ひとこと要約

本稿は、 cohesive ∞-topos 内で微分コホロロジーと Chern-Weil 理論を統一する枠組みを確立し、高次ゲージ場およびその幾何学的量子化の合成的公理的基礎を提供する。古典的 Chern-Simons や Wess-Zumino-Witten 理論を高次元に一般化し、高次 Chern-Weil 同型写像をモジュライ ∞-スタック上の準同型として特定し、ねじれコホロロジーによる量子化が Witten の genus のような分配函数をもたらすことを示し、異常キャンセレーションおよび拡張された前量子場理論との深い関係を明らかにする。

ABSTRACT

We formulate differential cohomology and Chern-Weil theory -- the theory of connections on fiber bundles and of gauge fields -- abstractly in the context of a certain class of higher toposes that we call "cohesive". Cocycles in this differential cohomology classify higher principal bundles equipped with cohesive structure (topological, smooth, synthetic differential, supergeometric, etc.) and equipped with connections, hence higher gauge fields. We discuss various models of the axioms and applications to fundamental notions and constructions in quantum field theory and string theory. In particular we show that the cohesive and differential refinement of universal characteristic cocycles constitutes a higher Chern-Weil homomorphism refined from secondary caracteristic classes to morphisms of higher moduli stacks of higher gauge fields, and at the same time constitutes extended geometric prequantization -- in the sense of extended/multi-tiered quantum field theory -- of hierarchies of higher dimensional Chern-Simons-type field theories, their higher Wess-Zumino-Witten-type boundary field theories and all further higher codimension defect field theories. We close with an outlook on the cohomological quantization of such higher boundary prequantum field theories by a kind of cohesive motives.

研究の動機と目的

• 高次トポス理論における微分コホロロジーおよびゲージ場理論の合成的・公理的基盤を提供すること。
• 古典的 Chern-Weil 同型写像を高次 ∞-接続および高次特徴類へ一般化すること。
• 拡張された前量子場理論の枠組み内で高次 Chern-Simons 理論と Wess-Zumino-Witten 理論を統一すること。
• 接続のモジュライ ∞-スタックが、ねじれ K-可約性やストリング構造などのフェルミオン的異常キャンセレーション条件を自然に記述することを示すこと。
• ねじれ一般コホロロジーを用いたコホロロジー的量子化により、高次境界理論および欠損理論を扱い、Witten の genus のような量子不変量を導出すること。

提案手法

• cohesive ∞-topos 内で微分コホロロジーを形式化し、cohesive 構造（滑らか、超、合成的）がトポス公理に組み込まれている。
• 滑らかな ∞-群体および ∞-Lie アルベイドロイドの cohesive ∞-トポスを、抽象的枠組みの具象的モデルとして構成する。
• ∞-Chern-Weil 同型写像を、主 ∞-接続から (n+1)-バンドルと接続への写像として定義し、そのホロノミーが高次 Chern-Simons の作用関数を定める。
• これらのバンドルの高次ホロノミーを、全配置 ∞-群体上の ∞-Chern-Simons 理論の作用関数として特定する。
• 微分的ねじれとループ化を用いて、Chern-Simons ラグランジアンから高次 Wess-Zumino-Witten 関数を導出する。
• ねじれ一般コホロロジー（例：tmf）における押し出しを用いたコホロロジー的量子化を適用し、Witten の genus のような量子不変量を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分コホロロジーおよび Chern-Weil 理論を、異なる幾何的構造にわたる高次ゲージ場を統一的に扱えるように公理化する方法は何か？
• RQ2 cohesive ∞-topos が高次ゲージ理論の幾何的・位相的データおよびその異常を捉える上で果たす正確な役割は何か？
• RQ3 ∞-Chern-Weil 同型写像は、古典的 Chern-Simons や Wess-Zumino-Witten 理論を高次次元および拡張場理論へどのように一般化するか？
• RQ4 接続のモジュライ ∞-スタックが、ねじれ K-可約性やストリング構造といったフェルミオン的異常キャンセレーション条件をどのように記述するのか、その意味は何か？
• RQ5 ホテイシャス超弦理論のような量子場理論の分配函数は、ねじれコホロロジーによる高次前量子幾何的構成から導出可能か？

主な発見

• ∞-Chern-Weil 同型写像は、∞-接続のモジュライ ∞-スタックから (n+1)-バンドルと接続のモジュライ ∞-スタックへの準同型として実現され、古典的 Chern-Simons 関数の一般化となる。
• 得られた Chern-Simons (n+1)-バンドルの高次ホロノミーは、全配置 ∞-群体上の ∞-Chern-Simons 理論の作用関数として計算される。
• 微分的ループ化構成により、Chern-Simons 理論のねじれループ空間として高次 Wess-Zumino-Witten 関数が得られ、境界理論および欠損理論の幾何的前量子化が実現される。
• この枠組みは自然に異常キャンセレーションを記述する：例えば、D-ブレーン電荷の Freed-Witten 条件は、ブレーン部分多様体の χ-ねじれ K-可約性と同値である。
• ねじれ tmf における押し出しを用いたコホロロジー的量子化により、Witten の genus がホテイシャス超弦の分配函数として得られ、軌道法の高次元版が実現される。
• M2-ブレーンが O9-プレーンに接続する構成は、同じメカニズムによりホテイシャス超弦を生じさせ、その分配函数は Witten の genus で与えられ、[Sa10a] での予想を確認する。