[論文レビュー] Synthetic Homology in Homotopy Type Theory

R. L. Graham|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Eilenberg-Maclane スペクトラを用いて安定ホモトピー群を定義し、それらをホモトピー型理論における完全なホモロジー理論へと拡張することで、ホモトピー型理論における合成的ホモロジーを確立する。得られた構成がEilenberg–Steenrod公理を満たすことが証明されており、型理論におけるコンピュータ検証可能なホモロジーの基盤を提供する。これは、先行する合成的ホモトピー理論および高次帰納的型の研究に基づいている。

ABSTRACT

This paper defines homology in homotopy type theory, in the process stable homotopy groups are also defined. Previous research in synthetic homotopy theory is relied on, in particular the definition of cohomology. This work lays the foundation for a computer checked construction of homology.

研究の動機と目的

• セル構造や古典的な集合論的構成に依存せずに、ホモトピー型理論におけるホモロジーを定義すること。
• 合成的安定ホモトピー理論を拡張し、Eilenberg–Steenrod公理を満たすホモロジー理論を構築すること。
• 高次帰納的型と不変性を活用して、形式的かつコンピュータ検証可能なホモロジーの枠組みを提供すること。
• 従属型理論におけるホモロジー代数の機械化された証明の基盤を築くこと。
• 形式化されたホモトピー理論に生じるコロイミットと高次パスに関する基礎的課題に取り組むこと。

提案手法

• Freudenthalの懸垂定理とBlakers-Massey定理を用いて、$\pi_n^s(-)$ を安定ホモトピー群として定義する。
• 自然性とファンクターイリティを用いて、固定されたスペクトラ $K$ に対して $\pi_n^s(- \land K)$ をホモロジー理論として構成する。
• プレスペクトラ $K_i$ に対して $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$ を構成し、それがホモロジー理論をなすことを証明する。
• 立方体型理論のアプローチを用いて高次パスとパスの合成を扱い、計算複雑性の問題を解決する。
• 既存のEilenberg-Maclane空間およびコホモロジーの形式的定義を活用して、係数付きの正規ホモロジーを定義する。
• 自然性とコロイミットの議論を用いて、懸垂公理と正確性公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\pi_n^s(- \land K)$ が固定されたスペクトラ $K$ に対してホモロジー理論の公理を満たすか。
• RQ2 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$ がプレスペクトラ $K_i$ に対してホモロジー理論をなすことが示せるか。
• RQ3 標準的写像 $\bigoplus_i H_n(X_i) \to H_n(\bigvee_i X_i)$ が同型であるか、すなわち無限加法性が成り立つか。
• RQ4 $\Omega \operatorname{colim}_n X(n) \simeq \operatorname{colim}_n \Omega X(n)$ が点付き族 $X_n$ に対して成り立つか。
• RQ5 型理論においてパス空間のコロイミットをどのように取り扱えば、ホモロジー的構成を支援できるか。

主な発見

• 安定ホモトピー群 $\pi_n^s(-)$ は、補題2.36で示されるようにホモロジー理論をなす。
• 固定されたスペクトラ $K$ に対して、構成 $\pi_n^s(- \land K)$ は、補題3.5で示されるようにホモロジー理論をなす。
• コロイミット構成 $\operatorname{colim}_i \pi_{n+i}^s(X \land K_i)$ は、補題3.17で示されるようにホモロジー理論をなす。
• 係数 $G$ に対する正規ホモロジーは、$K_i = K(G,i)$（Eilenberg-Maclane スペクトラ）とおくことで回復される。
• 自然性による $\operatorname{susp}$ の性質と $\pi_n^s(- \land K)$ のファンクターイリティのおかげで、懸垂公理が満たされる。
• $\pi_n^s(- \land K)$ の正確性と、切断されたコロイミットの性質のおかげで、ホモロジー理論の正確性が導かれる。