[論文レビュー] On the homotopy groups of spheres in homotopy type theory

Guillaume Brunerie|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、ホモトピー型理論において、高度な道具としてジェームズ構成、ホップ不変量、およびギジン完全系列を用いて、π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ である完全に構成的で自明な証明を構築する。すべての n ≥ 3 に対して πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ が成立することを示し、古典的論理や非構成的技法に依存せずに、代数的トポロジーにおける古典的結果の計算的かつ合成的証明を達成する。

ABSTRACT

The goal of this thesis is to prove that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ in homotopy type theory. In particular it is a constructive and purely homotopy-theoretic proof. We first recall the basic concepts of homotopy type theory, and we prove some well-known results about the homotopy groups of spheres: the computation of the homotopy groups of the circle, the triviality of those of the form $π_k(S^n)$ with $k < n$, and the construction of the Hopf fibration. We then move to more advanced tools. In particular, we define the James construction which allows us to prove the Freudenthal suspension theorem and the fact that there exists a natural number $n$ such that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Then we study the smash product of spheres, we construct the cohomology ring of a space, and we introduce the Hopf invariant, allowing us to narrow down the $n$ to either $1$ or $2$. The Hopf invariant also allows us to prove that all the groups of the form $π_{4n-1}(S^{2n})$ are infinite. Finally we construct the Gysin exact sequence, allowing us to compute the cohomology of $\mathbb{C}P^2$ and to prove that $π_4(S^3) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and that more generally $π_{n+1}(S^n) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ for every $n \ge 3$.

研究の動機と目的

• ホモトピー型理論の枠組み内で、π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ に対する完全な構成的かつ合成的証明を提供すること。
• ホモトピー論的および型理論的道具のみを用いて、すべての n ≥ 3 に対して πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ であることを示すこと。
• フロイントハルトの懸垂定理や複素射影空間のコホモロジー環といった、ホモトピー型理論の基礎的結果を確立すること。
• ホップ不変量を用いて、すべての n ≥ 1 に対して π₄ₙ₋₁(S²ₙ) が無限大であることを示すこと。
• ギジン完全系列を発展させ、それを応用して ℂℙ² のコホモロジーを計算し、π₄(S³) の構造を導出すること。

提案手法

• フロイントハルトの懸垂定理の証明および π₄(S³) ≃ ℤ/nℤ（ある自然数 n に対して）の確立を目的としたジェームズ構成の定義。
• 球面のスマッシュ積の構成と、型理論的手法による空間のコホモロジー環の開発。
• ホップ不変量の導入により、n ∈ {1, 2} であることを示し、すべての n ≥ 1 に対して π₄ₙ₋₁(S²ₙ) が無限大であることを証明する。
• ホモトピー型理論においてギジン完全系列を形式化し、ℂℙ² のコホモロジーを計算する。
• コホモロジー計算の結果を用いて、π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ が成り立ち、さらにすべての n ≥ 3 に対して πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ に一般化されることを示す。
• 証明が構成的かつ合成的であることを保証するために、同一性の公理、高階の帰納的型、および切断を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー型理論において、古典的推論や非構成的選択に依存せずに、π₄(S³) を構成的に計算できるか？
• RQ2 n ≥ 3 のとき、πₙ₊₁(Sⁿ) の正確な構造は何か？ また、合成的ホモトピー論を用いて、それが ℤ/2ℤ に等しいことを証明できるか？
• RQ3 型理論においてホップ不変量をどのように形式化できるか？ これにより、π₄(S³) ≃ ℤ/nℤ の場合に想定される n の値を区別できるか？
• RQ4 ホモトピー型理論においてギジン完全系列を構築し、ℂℙ² のコホモロジーを計算するために応用できるか？
• RQ5 ループ空間の切断の性質をどの程度特徴づけられるか？ また、これは球面のホモトピー群とどのように関係するか？

主な発見

• π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ は、ホモトピー型理論において完全に構成的証明によって確立され、合成的および型理論的手段にのみ依存する。
• ギジン完全系列が形式化され、ℂℙ² のコホモロジーの計算に用いられ、これにより直接的に π₄(S³) ≃ ℤ/2ℤ が導かれる。
• すべての n ≥ 3 に対して πₙ₊₁(Sⁿ) ≃ ℤ/2ℤ が成り立つことが示され、n = 3 の場合に限らない一般化が達成された。
• ホップ不変量を用いて、すべての n ≥ 1 に対して π₄ₙ₋₁(S²ₙ) が無限大であることが証明され、古典的結果が構成的に確認された。
• ジェームズ構成が形式化され、フロイントハルトの懸垂定理の証明および、π₄(S³) が有限かつある n に対して ℤ/nℤ に同型であることを示すために用いられた。
• S² の 2-切断のループ空間が、S² のループ空間の 2-切断と同型であることが示され、高階のホップファイブレーションの構成を支援する。