[論文レビュー] Syntomic cohomology and Beilinson's Tate conjecture for $K_2$

Masanori Asakura, Kanetomo Sato|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$p$-進体上の楕円曲面に対して、$K_2$ のエタールコホモロジーに対するシントミックコホモロジーの上界を確立し、その像が形式的エイゼンスタイン級数の空間に含まれることを証明する。これにより、ガロア不変なエタールコホモロジーのランクに対する新たな上界が得られ、特定の状況下でベイリンソンのタート予想を$K_2$に対して検証可能となり、特定の$K3$表面における torsion 0-サイクルの有限性を示す。主な革新点は、テート曲線における$p$-進ホッジ理論的計算と、シントミックとエタールコホモロジーを結びつけるフォンタイン＝メッシング理論の応用にあり。

ABSTRACT

In this paper, we study an analogue of the Tate conjecture for $K_2$ of U, the complement of split multiplicative fibers in an elliptic surface. A main result is to give an upper bound of the rank of the Galois fixed part of the etale cohomology $H^2(\bar{U},Q_p(2))$. As an application, we give an elliptic K3 surface $X$ over a p-adic field for which the torsion part of the Chow group $CH_0(X)$ of 0-cycles is finite. This would be the first example of a surface $X$ over a p-adic field whose geometric genus is non-zero and for which the torsion part of $CH_0(X)$ is finite.

研究の動機と目的

• シントミックコホモロジーと形式的エイゼンスタイン級数を用いて、$H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ のランクに対する新たな上界を確立すること。
• 上界を完全に達成する十分な$K_2$-記号を構成することで、特定の状況下でベイリンソンのタート予想を$K_2$に対して検証すること。
• 良い還元を持つ$\mathbb{Q}_p$上に定義された$K3$表面$X$に対して、チャウ群$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ の torsion 部分群の有限性を証明すること。
• $p$-進ホッジ理論を用いて、モジュラー曲線から任意の楕円曲面へ、ベイリンソンのエイゼンスタイン記号の定理を拡張すること。

提案手法

• 分岐乗法的特異点に沿った対数極を伴うシントミックコホモロジーを用い、$H^2_{\text{syn}}(\mathscr{X}(\mathscr{D}), \mathscr{S}_{\mathbb{Z}_p}(2))$ から$\mathscr{X}$ 上のグローバルな対数2形式への写像を定義すること。
• 形式的エイゼンスタイン級数の空間$\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ を、$\Gamma(\mathscr{X}, \Omega^2_{\mathscr{X}/R}(\log \mathscr{D}))$ の部分空間として定義すること。
• テート曲線における詳細な$p$-進ホッジ理論的計算を通じて、シントミックコホモロジー写像の像が$\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ に含まれることを証明すること。
• フォンタイン＝メッシング同型を用いてシントミックコホモロジーとエタールコホモロジーを関連させ、不等式$\dim_{\mathbb{Q}_p} c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p) \leq \mathrm{rank}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ を得ること。
• レギュレーター写像$K_1(X)^{(2)} \otimes \mathbb{Q}_\ell \to \mathrm{NS}(Y)_{\mathbb{Q}_\ell}$ の全射性と$H^3(X, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))$ の可除性を用いて、$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ の有限性を証明すること。
• ホッヒシルト＝セルレスペクトル系列とデリーニのフロベニウス跡数の独立性定理を適用し、ガロア不変コホモロジー群の可除性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シントミックコホモロジーは、$\mathbb{Q}_p$ 上の楕円曲面の文脈で、$H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ のランクに対する新たな上界を提供できるか？
• RQ2 シントミックコホモロジー写像の像が、形式的エイゼンスタイン級数の空間$\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ に含まれるか。これは、モジュラー曲線を超えてベイリンソンの定理を拡張するものか？
• RQ3 エタールチヤーレン写像$c_{\text{ét}}: K_2(U) \otimes \mathbb{Q}_p \to H^2_{\text{ét}}(\overline{U}, \mathbb{Q}_p(2))^{G_K}$ がいつ全射になるか。これにより、$K_2$ に対するベイリンソンのタート予想が検証可能になるか？
• RQ4 良い還元と分岐乗法的特異点を持つ$\mathbb{Q}_p$ 上の$K3$表面$X$ に対して、torsion 部分群$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ は有限か？
• RQ5 レギュレーター写像の全射性とコホモロジー群の可除性から、$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ の有限性を導けるか？

主な発見

• シントミックコホモロジー写像$H^2_{\text{syn}}(\mathscr{X}(\mathscr{D}), \mathscr{S}_{\mathbb{Z}_p}(2)) \to \Gamma(\mathscr{X}, \Omega^2_{\mathscr{X}/R}(\log \mathscr{D}))$ の像は、形式的エイゼンスタイン級数の空間$\mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ に含まれる。これは、幾何的制約を確立する重要な結果である。
• 不等式$\dim_{\mathbb{Q}_p} c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p) \leq \mathrm{rank}_{\mathbb{Z}_p} \mathrm{E}(\mathscr{X}, \mathscr{D})_{\mathbb{Z}_p}$ は、ガロア不変エタールコホモロジーのランクに対する新たな上界を提供し、場合によっては分岐乗法的特異点の数より厳密に小さい。
• ベイリンソンのタート予想は、$c_{\text{ét}}(K_2(U)\otimes \mathbb{Q}_p)$ の次元が上界に一致する例で検証され、エタールチヤーレン写像の全射性が示された。
• 良い還元と分岐乗法的特異点を持つ$\mathbb{Q}_p$ 上の$K3$表面$X$ に対して、torsion 部分群$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ は有限である。これは、既知の有限性結果を$p$-進体へ拡張するものである。
• レギュレーター写像$K_1(X)^{(2)} \otimes \mathbb{Q}_\ell \to \mathrm{NS}(Y)_{\mathbb{Q}_\ell}$ は全射であり、$H^3(X, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))$ はほとんどすべての$\ell$ に対して可除である。これらが組み合わさって、$\mathrm{CH}_0(X)_{\text{tors}}$ の有限性を示す。
• 有限性の証明は、フロベニウス跡数の独立性（デリーニの定理）とガロア不変コホモロジーの可除性に依拠しており、$H^1(\mathbb{Q}_p, H^2(\overline{X}, \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell(2))) \simeq N_\ell \otimes \mathbb{Q}_\ell/\mathbb{Z}_\ell$ がほとんどすべての$\ell$ に対して可除であることを示している。