[論文レビュー] Syzygies of secant ideals of Plücker-embedded Grassmannians are generated in bounded degree

Robert P. Laudone|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、特性0において、任意の固定された $ r \geq 0 $ に対して、Pl\

ABSTRACT

Over a field of characteristic $0$, we prove that for each $r \geq 0$ there exists a constant $C(r)$ so that the prime ideal of the $r$th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian ${\bf Gr}(d,n)$ is generated by polynomials of degree at most $C(r)$, where $C(r)$ is independent of $d$ and $n$. This bounded generation ultimately reduces to proving a poset is noetherian, we develop a new method to do this. We then translate the structure we develop to the language of functor categories to prove the $i$th syzygy module of the coordinate ring of the $r$th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian ${\bf Gr}(d,n)$ is concentrated in degrees bounded by a constant $C(i,r)$, which is again independent of $d$ and $n$.

研究の動機と目的

• 【DE】で提示された、Pl\
• method: [
• 【Secant ideals】を同時に記述するホップ環 $ \mathcal{P}_{\Sigma} = \bigoplus_{n,d} \operatorname{Sym}^n(\bigwedge^d \mathbf{k}^{(r+2)d}) $ を構成する。
• 【$ \mathcal{P}_{\Sigma} $ に二つの積を定義する：対称冪の間の外部積と、外積内の対称化による内部積。
• 【両積に関して閉じたイデアルが有限生成であることを証明する。無限大の反鎖集合が $ n $ と $ d $ の両方を無限大に持てないことを示す。
• 【$ \mathscr{G}_M $ 上の関手圏に構造を翻訳する。$ \operatorname{Sec}_{d,r}(M) $ を $ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $-加群とみなす。
• 【関手圏における射影的分解を用いて、Torモジュールの次数を有界化する。$ \mathcal{S}_M(r) $ の有限生成性を活用する。
• 【$ M \geq r+1+i $ のとき、$ C_M(i,r) $ が $ M $ に依存しないことを確立し、一様な有界値 $ C(i,r) $ を得る。

提案手法

• 【Secant ideals】を同時に記述するホップ環 $ \mathcal{P}_{\Sigma} = \bigoplus_{n,d} \operatorname{Sym}^n(\bigwedge^d \mathbf{k}^{(r+2)d}) $ を構成する。
• 【$ \mathcal{P}_{\Sigma} $ に二つの積を定義する：対称冪の間の外部積と、外積内の対称化による内部積。
• 【両積に関して閉じたイデアルが有限生成であることを証明する。無限大の反鎖集合が $ n $ と $ d $ の両方を無限大に持てないことを示す。
• 【$ \mathscr{G}_M $ 上の関手圏に構造を翻訳する。$ \operatorname{Sec}_{d,r}(M) $ を $ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $-加群とみなす。
• 【関手圏における射影的分解を用いて、Torモジュールの次数を有界化する。$ \mathcal{S}_M(r) $ の有限生成性を活用する。
• 【$ M \geq r+1+i $ のとき、$ C_M(i,r) $ が $ M $ に依存しないことを確立し、一様な有界値 $ C(i,r) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0において、Pl\
• RQ2 key_findings: [
• RQ3 【任意の $ r \geq 0 $ に対して、$ d $ と $ n $ に依存しない定数 $ C(r) $ が存在し、$ \mathbf{Gr}(d,n) $ の $ r $ 番目のセカント多様体の素イデアルは、次数 $ \leq C(r) $ の多項式によって生成される。
• RQ4 【$ \mathbf{Gr}(d,n) $ の $ r $ 番目のセカント多様体の座標環の $ i $ 番目のシンジーギー・モジュールは、$ C(i,r) $ に依存する次数に集中しており、$ C(i,r) $ は $ d $ と $ n $ に依存しない。
• RQ5 【$ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $ 上の $ i $ 番目のTorモジュールの次数に対する有界値 $ C_M(i,r) $ は、$ M \geq r+1+i $ のとき $ M $ に依存しない。これにより一様有界値 $ C(i,r) $ が得られる。
• RQ6 【ホップ環 $ \mathcal{P}_{\Sigma} $ の構成と、二つの積に関してのネーター性の証明により、関手圏の技法を用いて一様有界性を確立する。
• RQ7 【結果は、[DE]で得られた集合論的有界次数結果のイデアル論的版を確認し、イデアル論的設定における未解決問題を解決する。

主な発見

• 【任意の $ r \geq 0 $ に対して、$ d $ と $ n $ に依存しない定数 $ C(r) $ が存在し、$ \mathbf{Gr}(d,n) $ の $ r $ 番目のセカント多様体の素イデアルは、次数 $ \leq C(r) $ の多項式によって生成される。
• 【$ \mathbf{Gr}(d,n) $ の $ r $ 番目のセカント多様体の座標環の $ i $ 番目のシンジーギー・モジュールは、$ C(i,r) $ に依存する次数に集中しており、$ C(i,r) $ は $ d $ と $ n $ に依存しない。
• 【$ \operatorname{Sym}(\bigwedge^d \mathbf{k}^{Md}) $ 上の $ i $ 番目のTorモジュールの次数に対する有界値 $ C_M(i,r) $ は、$ M \geq r+1+i $ のとき $ M $ に依存しない。これにより一様有界値 $ C(i,r) $ が得られる。
• 【ホップ環 $ \mathcal{P}_{\Sigma} $ の構成と、二つの積に関してのネーター性の証明により、関手圏の技法を用いて一様有界性を確立する。
• 【結果は、[DE]で得られた集合論的有界次数結果のイデアル論的版を確認し、イデアル論的設定における未解決問題を解決する。