[論文レビュー] Syzygies of torsion bundles and the geometry of the level l modular variety over Mg

Frank–Olaf Schreyer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、一般曲線上のねじれバンドルのグリーン予想の類似を定式化し、計算的に検証することで、リゾリューションの自然性を確立する。また、曲線の型のモジュライ空間 R_{g,l} における非消滅部分集合のコホロロジー類を計算し、g > 11 のとき R_{g,3} が一般型であることを証明するとともに、R_{11,3} のコイネダ次元が ≥ 19 であることを示す。さらに、レベル2、種数8におけるプリム・グリーン予想の予期せぬ失敗を確率的推論によって解明する。

ABSTRACT

We formulate, and in some cases prove, three statements concerning the purity or, more generally the naturality of the resolution of various rings one can attach to a generic curve of genus g and a torsion point of order l in its Jacobian. These statements can be viewed an analogues of Green's Conjecture and we verify them computationally for bounded genus. We then compute the cohomology class of the corresponding non-vanishing locus in the moduli space R_{g,l} of twisted level l curves of genus g and use this to derive results about the birational geometry of R_{g, l}. For instance, we prove that R_{g,3} is a variety of general type when g>11 and the Kodaira dimension of R_{11,3} is greater than or equal to 19. In the last section we explain probabilistically the unexpected failure of the Prym-Green conjecture in genus 8 and level 2.

研究の動機と目的

• 種数 g でレベル l 構造を持つ一般曲線上のねじれバンドルのリゾリューションの自然性に関するグリーン予想の類似を定式化し、検証すること。
• 曲線の型のモジュライ空間 R_{g,l} の双有理幾何を研究すること。
• R_{g,l} におけるリゾリューション写像の非消滅部分集合のコホロロジー類を計算し、幾何的性質を導出すること。
• 特に l = 3 および g = 11 の場合に、R_{g,l} のコイネダ次元および双有理型を特定すること。
• 種数8、レベル2におけるプリム・グリーン予想の予期せぬ失敗を、確率的手法を用いて説明すること。

提案手法

• 一般曲線のレベル l 構造を持つ種数 g の曲線におけるリゾリューションの自然性に関する予想を定式化する。
• 有界な種数に対してこれらの予想を計算的手法で検証する。
• 交線論を用いて、モジュライ空間 R_{g,l} におけるリゾリューション写像の非消滅部分集合のコホロロジー類を計算する。
• コホロロジー類の計算を応用し、コイネダ次元や一般型性といった双有理不変量を導出する。
• 種数8、レベル2におけるプリム・グリーン予想の失敗を、リゾリューションの分布に関する確率的解析を用いて説明する。
• リゾリューションの純粋性に関する結果を活用し、R_{g,l} の幾何を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レベル l 構造を持つ曲線におけるねじれバンドルのリゾリューションのグリーン予想の類似は何か？
• RQ2 R_{g,l} におけるリゾリューション写像の非消滅部分集合のコホロロジー類はどのように計算できるか？
• RQ3 g > 11 のとき R_{g,3} の双有理幾何はどのようなものか？ 一般型であるか？
• RQ4 R_{11,3} のコイネダ次元は何か？ また、これはレベル3曲線の幾何とどのように関係するか？
• RQ5 なぜ種数8、レベル2におけるプリム・グリーン予想は予期せぬ失敗を示すのか？ これは確率的解釈によって説明可能か？

主な発見

• g > 11 のとき R_{g,3} は一般型であり、この範囲では豊富な双有理幾何的構造を示している。
• R_{11,3} のコイネダ次元は少なくとも19である。これは正のが最大でないコイネダ次元を示している。
• リゾリューション写像の非消滅部分集合のコホロロジー類が計算され、R_{g,l} の双有理不変量の導出に用いられた。
• 有界な種数に対して、ねじれバンドルのグリーン予想の類似が計算的に検証された。
• 種数8、レベル2におけるプリム・グリーン予想の失敗は、リゾリューション分布の確率的解析によって説明された。
• リゾリューションおよびコホロロジー的手法を用いて、Mg 上のレベル l モジュラー多様体の幾何を理解するフレームワークが確立された。