[論文レビュー] Szegö kernel asymptotics and Morse inequalities on CR manifolds with $S^1$ action

Chin-Yu Hsiao, Xiaoshan Li|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、横断的 $S^1$ 群作用をもつCR多様体に対して、弱いおよび強いモーツィン不等式を確立し、剛体CR線束 $L^k$ に値をとる $(0,q)$-形式上の部分Szego核の漸近的推定を導出する。Levi形式に関する仮定を課さず、曲率が正性条件を満たすならば $L$ が大きいことを証明し、Grauert-Riemenschneiderの基準をCR設定へと拡張する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact connected CR manifold of dimension $2n-1, n\geq 2$. We assume that there is a transversal CR locally free $S^1$ action on $X$. Let $L^k$ be the $k$-th power of a rigid CR line bundle $L$ over $X$. Without any assumption on the Levi-form of $X$, we obtain a scaling upper-bound for the partial Szegő kernel on $(0,q)$-forms with values in $L^k$. After integration, this gives the weak Morse inequalities. By a refined spectral analysis, we also obtain the strong Morse inequalities in CR setting. We apply the strong Morse inequalities to show that the Grauert-Riemenschneider criterion is also true in the CR setting.

研究の動機と目的

• 横断的 $S^1$ 群作用をもつCR多様体に対して、Demaillyの正則モーツィン不等式をCR設定に拡張し、弱いおよび強いモーツィン不等式を確立すること。
• 剛体CR線束 $L$ の $k$ 乗 $L^k$ に値をとる $(0,q)$-形式上の部分Szego核の漸近的推定を導出すること。
• CR設定におけるGrauert-Riemenschneider基準を証明し、$L$ の曲率が正性条件を満たすならば $L$ が大きいことを示すこと。
• 従来の研究で一般的に要求される、Levi形式と $L$ の曲率との間の仮定を不要にすること。
• $Y(0)$ および $Y(1)$ 条件に依存しない、CR埋め込みおよび $H^0_b(X, L^k)$ の成長を研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 局所座標における対角近傍でのSzego核漸近挙動を解析するためのスケーリング技法の使用。
• Heisenberg群モデルの適用により、Szego核の局所的挙動を研究し、一様推定を得ること。
• Kohnラプラシアンの精密なスペクトル解析により、部分Szego核関数 $\Pi_{\leq k\delta}^q$ の鋭い上界を得ること。
• 核推定の統合により弱いモーツィン不等式を導出し、さらに精錬することで強いモーツィン不等式を獲得すること。
• $S^1$ 群作用およびCR構造に適合した標準的局所座標の使用により、解析を単純化すること。
• $S^1$-不変性を活用して、商空間上の有限次元スペクトル解析に問題を還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Levi形式に関する仮定なしに、$S^1$ 群作用をもつCR多様体に対してモーツィン不等式を確立できるか？
• RQ2 剛体CR線束 $L$ の曲率がどのような条件下で $L^k$ が大きい、すなわち $\dim H^0_b(X, L^k) \gtrsim k^n$ となるか？
• RQ3 Grauert-Riemenschneider基準は、Levi形式の符号に依存せず、CR設定でも成立するか？
• RQ4 $Y(0)$ および $Y(1)$ 条件が成立しない状況下でも、$(0,q)$-形式上の部分Szego核をスケーリング技法を用いて漸近的に推定できるか？
• RQ5 CR設定において、$L$ の曲率と $H^0_b(X, L^k)$ の成長との間の正確な関係は何か？

主な発見

• Levi形式に関するいかなる仮定も課さずに、$L^k$ に値をとる $(0,q)$-形式上の部分Szego核 $\Pi_{\leq k\delta}^q$ に対するスケーリング上界が確立された。
• 核推定の統合により、$S^1$ 群作用をもつCR多様体に対して弱いモーツィン不等式が得られた。
• 精密なスペクトル解析を通じて、$Y(0)$ および $Y(1)$ 条件がなくても、CR設定で強いモーツィン不等式が得られた。
• Grauert-Riemenschneider基準はCR設定でも成立する：$L$ の曲率 $\mathcal{R}^L$ が正則接空間上で正定値ならば、$L$ は大きい。
• 複素Heisenberg群 $\mathscr{C}H_n$ の例では、行列 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ が正定値ならば、$L$ は大きい。
• 複素トーラス上の正則線束に対して、行列 $(\mu_{j,t})^{n-1}_{j,t=1}$ が正定値ならば、関連するCR多様体 $X$ 上の引き戻し線束 $\pi^*L_\mu$ は大きい。