[論文レビュー] Szegedy Walk Unitaries for Quantum Maps

Paweł Wocjan, Kristan Temme|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、古典的ランダムウォークの量子化を、具体的には詳細釣合平衡 Lindbladians および量子チャネルを含む量子マップへ一般化する量子アルゴリズムを提示する。Lindbladian のスペクトルギャップに対して、固有位相ギャップが2乗で拡大されるウォークユニタリを構築することにより、開放量子系のシミュレーションにおける量子的高速化が可能となり、ブロック符号化およびエネルギー推定技術を用いた効率的実装が可能である。

ABSTRACT

Szegedy developed a generic method for quantizing classical algorithms based on random walks [Proceedings of FOCS, 2004, pp. 32-41]. A major contribution of his work was the construction of a walk unitary for any reversible random walk. Such unitary posses two crucial properties: its eigenvector with eigenphase $0$ is a quantum sample of the limiting distribution of the random walk and its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the random walk. It was an open question if it is possible to generalize Szegedy's quantization method for stochastic maps to quantum maps. We answer this in the affirmative by presenting an explicit construction of a Szegedy walk unitary for detailed balanced Lindbladians -- generators of quantum Markov semigroups -- and detailed balanced quantum channels. We prove that our Szegedy walk unitary has a purification of the fixed point of the Lindbladian as eigenvector with eigenphase $0$ and that its eigenphase gap is quadratically larger than the spectral gap of the Lindbladian. To construct the walk unitary we leverage a canonical form for detailed balanced Lindbladians showing that they are structurally related to Davies generators. We also explain how the quantization method for Lindbladians can be applied to quantum channels. We give an efficient quantum algorithm for quantizing Davies generators that describe many important open-system dynamics, for instance, the relaxation of a quantum system coupled to a bath. Our algorithm extends known techniques for simulating quantum systems on a quantum computer.

研究の動機と目的

• 古典的可逆マルコフ連鎖における Szegedy の量子化フレームワークを、特に詳細釣合平衡 Lindbladians および量子チャネルを含む量子マップへ拡張すること。
• 固定点状態の純化である固有位相 0 の固有状態を持つウォークユニタリを構築すること。
• Lindbladian のスペクトルギャップに対して、固有位相ギャップを2乗で拡大する。これにより、開放系ダイナミクスのシミュレーションにおける量子的高速化が可能になる。
• 開放量子系で一般的に用いられる Davies 生成子の量子化のための効率的量子アルゴリズムを、ブロック符号化およびエネルギー推定を用いて提供すること。

提案手法

• 詳細釣合平衡 Lindbladians の標準形を活用し、それらが Davies 生成子と構造的に同等であることを示す。
• 固定点 σ に関する相似変換を用いて、量子判別子 Q を導入する。この Q は σ に依存せず、詳細釣合平衡の異なる定式化においても不変である。
• 固定点 σ の純化 |σ^{1/2}}⟩ = (σ^{1/2} ⊗ I)|Ω⟩ が固有位相 0 の固有状態であるウォークユニタリ W(L) を構築する。
• ブロック符号化技術を用いて、ウォークユニタリを効率的に実装する。制御操作と位相推定を用いて、ハミルトニアンのボア周波数を符号化する。
• フィルタ回転と制御付きサイクリックシフトを用いて、部分等長写像 T0 と T1 を量子的に実装し、それらを組み合わせてウォークユニタリの全等長写像 T を構成する。
• 反射に基づく結合演算子を用いて、一般の詳細釣合平衡 Lindbladians をより大きなヒルベルト空間に埋め込み、Davies 生成子の特別な場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ランダムウォークの Szegedy の量子化手法は、Lindbladians や量子チャネルによって支配される量子マルコフ過程へ一般化可能か？
• RQ2 詳細釣合平衡 Lindbladians の構造は何か？ そして、それらを量子化に適した形に体系的に変換可能か？
• RQ3 固定点状態の純化に対応する固有位相 0 の固有状態を持つウォークユニタリをどのように構築できるか？
• RQ4 古典的状況と同様に、ウォークユニタリの固有位相ギャップが Lindbladian のスペクトルギャップに対して2乗で拡大可能か？
• RQ5 特に、既知の熱的固定点を持つ Davies 生成子に対して、このようなウォークユニタリを効率的に実装する量子アルゴリズムは存在するか？

主な発見

• 提案されたウォークユニタリ W(L) は、詳細釣合平衡 Lindbladian L の固定点 σ の純化 |σ^{1/2}}⟩ が固有位相 0 の固有状態として持つ。
• W(L) の固有位相ギャップは、L のスペクトルギャップよりも2乗大きく、古典的 Szegedy ウォークと同様の量子的高速化を実現する。
• Lindbladian を相似変換により導出された量子判別子 Q は、固定点 σ に依存せず、詳細釣合平衡の異なる定式化においても同一の構造を保つ。
• 一般の詳細釣合平衡 Lindbladians の量子化は、Davies 生成子のケースに還元可能であり、ブロック符号化およびエネルギー推定を用いて効率的に量子化可能である。
• 熱的ギブス固定点を持つ Davies 生成子に対して、効率的な量子アルゴリズムが構築可能である。ただし、ハミルトニアンのエネルギーが丸めの条件を満たし、エネルギー推定によって解像可能である必要がある。
• 全ウォークユニタリは、フィルタ関数と位相推定を用いて、部分等長写像 T0 と T1 を組み合わせた制御付き等長写像 T により実装され、最終的な反射 R により、拡張されたボア周波数の量子重ね合わせが可能になる。