[論文レビュー] T-duality for torus bundles with H-fluxes via noncommutative topology, II: the high-dimensional case and the T-duality group

Varghese Mathai, Jonathan Rosenberg|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2005

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Hフラックスを伴う主トーラス bundle に対するT双対性を、非可換位相幾何学を用いて高ランクのトーラスへ拡張する。T双対性は常に一般化された双対（古典的 bundle または連続的非可換トーラスのファイバー束）を介して可能であり、コhomological 条件に応じて双対が古典的か非古典的かが特定される。主な結果は、T双対が古典的か非古典的かを完全に特徴づけるもので、それに関連して $GO(n,n;\mathbb{Z})$ というT双対性群が、このような bundle の分類空間に作用する。

ABSTRACT

We use noncommutative topology to study T-duality for principal torus bundles with H-flux. We characterize precisely when there is a "classical" T-dual, i.e., a dual bundle with dual H-flux, and when the T-dual must be "non-classical," that is, a continuous field of noncommutative tori. The duality comes with an isomorphism of twisted $K$-theories, required for matching of D-brane charges, just as in the classical case. The isomorphism of twisted cohomology which one gets in the classical case is replaced in the non-classical case by an isomorphism of twisted cyclic homology. An important part of the paper contains a detailed analysis of the classifying space for topological T-duality, as well as the T-duality group and its action. The issue of possible non-uniqueness of T-duals can be studied via the action of the T-duality group.

研究の動機と目的

• 主トーラス bundle に Hフラックスを伴う T双対性を、ランク2の場合を超えて任意の高ランクトーラスへ一般化すること。
• T双対が古典的（双対 Hフラックスを伴う主トーラス bundle）か非古典的（非可換トーラスの連続的ファイバー束）かが正確にどの条件下で成立するかを特定すること。
• トポロジカル T双対性のための分類空間を構成し、T双対性群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ の作用を分析すること。
• Dブレインの電荷整合性を満たす物理的条件として、ねじれた $K$-理論とねじれた循環ホモロジーの同型を確立すること。
• T双対の非一意性の問題を、T双対性群の作用によって解消すること。

提案手法

• Hフラックスを伴う時空をモデル化し、T双対性を $K$-理論同型として定義するために、非可換位相幾何学と連続的トレース $C^*$-代数を用いる。
• Dixmier-Douady理論とねじれた $K$-理論を適用して、Hフラックスを伴う bundle の分類を行う。
• Hフラックスがファイバーのコhomology に制限されたときの消滅条件 $H^3(T) = 0$ を用いて、T双対可能であることを特徴づける。
• Hフラックスの $H^1(Z, H^2(T))$ へのプッシュフォワードが非自明である場合、T双対を非可換トーラスの連続的ファイバー束として定義する。
• T双対性のための分類空間を構成し、$n=2$ の場合に古典的および非古典的成分に分解されることを示し、$GO(n,n;\mathbb{Z})$ がホモトピー自己同型として作用することを示す。
• Connes-Chern特徴子とねじれた循環ホモロジーを用いて、古典的 T双対性におけるコhomological 同型を非古典的ケースに一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主トーラス bundle に Hフラックスを伴う場合、一般化された意味で T双対可能であるためのコhomological 条件は何か？
• RQ2 T双対が古典的 bundle である場合と、非可換トーラスの連続的ファイバー束でなければならない場合の境界は何か？
• RQ3 T双対性群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ は、Hフラックスを伴うトーラス bundle の分類空間にどのように作用するか？
• RQ4 非古典的ケースにおいて、ねじれた $K$-理論の同型は、ねじれた循環ホモロジーへ一般化可能か？
• RQ5 T双対の非一意性は何かによって説明され、T双対性群はその問題をどのように解消するか？

主な発見

• 主トーラス bundle に Hフラックスを伴う場合、一般化された意味で T双対可能であるための必要十分条件は、Hフラックスが各トーラスファイバーに制限されたときにコhomology で自明であることである。
• T双対が非古典的（非可換トーラスの連続的ファイバー束）であるための必要十分条件は、Hフラックスの $H^1(Z, H^2(T))$ へのプッシュフォワードが非自明であることである。
• $n=2$ の場合、T双対性の分類空間は古典的および非古典的成分の積に分解される。
• T双対性群 $GO(n,n;\mathbb{Z})$ は、古典的に双対可能な bundle の分類空間にホモトピー自己同型として作用する。
• Dブレインの電荷整合性に必要なねじれた $K$-理論の同型は保持され、非古典的ケースでは古典的ねじれたコhomology の代わりにねじれた循環ホモロジーが用いられる。
• 本稿は、離散群の分類空間をコンパクト化の背景として用いる T双対性の拡張のための枠組みを提供し、トーラスでない背景への一般化を示唆する。