[論文レビュー] T-duality in rational homotopy theory via $L_\infty$-algebras

Domenico Fiorenza, Hisham Sati+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$L_\infty$-代数を用いて、有理ホモトピー論におけるトポロジカルT双対性を厳密に定式化し、タイプIIAおよびIIB超弦理論における$K^0$および$K^1$コサイクルの双対性が、ねじれコホモロジー間のフーリエ＝ムカイ変換に対応することを示している。主な貢献は、$L_\infty$-代数的構成による完全なT双対性の記述であり、超ミンコフスキー時空上のねじれコホモロジー理論の間の明示的な同型が与えられている。

ABSTRACT

We combine Sullivan models from rational homotopy theory with Stasheff's $L_\infty$-algebras to describe a duality in string theory. Namely, what in string theory is known as topological T-duality between $K^0$-cocycles in type IIA string theory and $K^1$-cocycles in type IIB string theory, or as Hori's formula, can be recognized as a Fourier-Mukai transform between twisted cohomologies when looked through the lenses of rational homotopy theory. We show this as an example of topological T-duality in rational homotopy theory, which in turn can be completely formulated in terms of morphisms of $L_\infty$-algebras.

研究の動機と目的

• 有理ホモトピー論におけるトポロジカルT双対性を$ L_\infty $-代数を用いて形式化すること。
• タイプIIAにおける$ K^0 $-コサイクルとタイプIIBにおける$ K^1 $-コサイクルの関係を有理ホモトピー論によって明確化すること。
• Horiの公式およびRR場のBuscher則が、この枠組みにおいてフーリエ＝ムカイ変換として生じることを示すこと。
• 超ミンコフスキー時空$ \mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} $から分類代数$ b\mathfrak{tfold} $への明示的な$ L_\infty $-準同型を構成し、T双対性構造を符号化すること。
• $ \mu_{F1}^{\mathrm{IIA}} $-ねじれおよび$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $-ねじれコホモロジーがフーリエ＝ムカイ変換により同型であることを示し、Horiの公式を代数的に実現すること。

提案手法

• 論文は、有理ホモトピー型を表す半自由DG代数としてのSullivanモデルを用い、それらのChevalley-Eilenberg代数が$ L_\infty $-代数に対応することを用いる。
• コホモロジーのねじれは、$ L_\infty $-代数の拡張として定式化され、$ c_2^{\mathrm{IIA}} $や$ c_2^{\mathrm{IIB}} $のようなコサイクルが超ミンコフスキー代数の中心拡張を定義する。
• $ L_\infty $-準同型$ \mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} \to b\mathfrak{tfold} $の構成は、三重組$ (c_2^{\mathrm{IIA}}, c_2^{\mathrm{IIB}}, \mu_{F1}^{8,1}) $に基づき、$ d\mu_{F1}^{8,1} = c_2^{\mathrm{IIA}} c_2^{\mathrm{IIB}} $を満たす。
• フーリエ＝ムカイ同型は、ねじれコホモロジー環$ H_{L_\infty;\mu_{F1}^{\mathrm{IIA}}}^\bullet(\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}};\mathbb{R})[[u^{-1},u]] $と$ H_{L_\infty;\mu_{F1}^{\mathrm{IIB}}}^{\bullet-1}(\mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}};\mathbb{R})[[u^{-1},u]] $間の擬同型として実現される。
• 論文は、$ X $上の$ Y $-値コサイクルをDGCA準同型$ \mathrm{CE}(\mathfrak{l}Y) \to \Omega^\bullet(X)$に一般化することで、滑らかな写像から$ L_\infty $-代数準同型への一般化を活用する。
• $ \Gamma_9^{\mathrm{IIB}} = i\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\Gamma_{10} $の関係を用いて、$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIA}} $と$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $のコサイクルを関連させ、双対性全体にわたる一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$ L_\infty $-代数を用いて、超弦理論におけるトポロジカルT双対性を有理ホモトピー論の枠組みで定式化できるか？
• RQ2 タイプIIAにおける$ K^0 $-コサイクルとタイプIIBにおける$ K^1 $-コサイクルの双対性の背後にある正確な$ L_\infty $-代数的構造は何か？
• RQ3 Horiの公式が、RR場のT双対性を記述するものであるが、この代数的枠組みにおいてどのようにしてフーリエ＝ムカイ変換として現れるか？
• RQ4 3次コサイクル$ \mu_{F1}^{8,1} $は、タイプIIAおよびIIBの超ミンコフスキー時空の$ L_\infty $-代数をどのように結びつけるか？
• RQ5 $ \mu_{F1}^{\mathrm{IIA}} $-ねじれおよび$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $-ねじれコホモロジー環の同型は、どのように代数的に実現されるか？

主な発見

• 論文は、三重組$ (c_2^{\mathrm{IIA}}, c_2^{\mathrm{IIB}}, \mu_{F1}^{8,1}) $に基づき、$ d\mu_{F1}^{8,1} = c_2^{\mathrm{IIA}} c_2^{\mathrm{IIB}} $を満たす、明示的な$ L_\infty $-準同型$ \mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} \to b\mathfrak{tfold} $を構成し、T双対性構造を符号化している。
• $ \mu_{F1}^{\mathrm{IIA}} $-ねじれコホモロジーは$ \mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}} $上で、$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $-ねじれコホモロジーとフーリエ＝ムカイ変換により同型であり、Horiの公式を実現している。
• $ L_\infty $-代数$ \mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\overline{\mathbf{16}}} $は$ \mathbb{R}^{8,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} $の$ c_2^{\mathrm{IIA}} $による中心拡張であり、$ \mathbb{R}^{9,1|\mathbf{16}+\mathbf{16}} $は$ c_2^{\mathrm{IIB}} $による拡張であるため、代数的構造において双対性が示されている。
• $ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $の明示的表現は$ \mu_{F1}^{8,1} - \overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\psi e^9_B = -i\sum_{a=0}^8 \overline{\psi}\Gamma_a\Gamma_{10}\psi e^a - i\overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIB}}\psi e^9_B $であり、RR場作用における双対性を確認している。
• 同型$ \Phi_{e^9_A e^9_B} $は、$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIA}} $-ねじれコサイクルを$ \mu_{F1}^{\mathrm{IIB}} $-ねじれコサイクルに写像し、Buscher則の完全な代数的実現を提供している。
• 構成により、T双対性同型が$ L_\infty $-代数の準同型によって誘導され、ねじれがスピンルオ双一次形式$ \overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIA}}\psi $と$ \overline{\psi}\Gamma_9^{\mathrm{IIB}}\psi $の双対性によって関連づけられていることが示された。