[論文レビュー] $T\overline T$ deformations of non-Lorentz invariant field theories

John Cardy|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 25被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、相対論的2次元量子場の理論に最初に定式化された $T\overline{T}$ 偽変換を、非相対論的およびリフシッツ型の場の理論を含むローレンツ不変でない系へと拡張する。ザモロドチコフの元来の議論を複素構造やローレンツ不変性に依存せずに、デカルト座標系に一般化することで、$\det T$ 変換下での有限サイズスペクトルに対する普遍的な微分方程式を導出し、非相対論的設定においても可解性とハゼルドン的挙動が維持されることを示している。

ABSTRACT

We point out that the arguments of Zamolodchikov and others on the $T\overline T$ and similar deformations of two-dimensional field theories may be extended to the more general non-Lorentz invariant case, for example non-relativistic and Lifshitz-type theories. We derive results for the finite-size spectrum and $S$-matrix of the deformed theories.

研究の動機と目的

• ローレンツ不変2次元QFTに最初に定義された $T\overline{T}$ 変換を、非ローレンツ不変場の理論、例えば非相対論的およびリフシッツ型系へと一般化すること。
• ローレンツ不変または conformal field theory に限らない範囲でも、$\det T$ 変換された理論の可解性、特に有限サイズスペクトルの進化が成り立つことを確立すること。
• 運動量とエネルギーのフラックスが非ゼロであっても成り立つ、非ローレンツ不変な設定における変換下でのエネルギースペクトルを記述する微分方程式を導出すること。
• $t < 0$ の場合に、変換された理論がハゼルドン的密度状態を示し、$t > 0$ の場合に無限温度でエネルギーが飽和することを示し、相対論的 $T\overline{T}$ 行動と類似すること。
• エネルギー密度と圧力の積に比例する $T_{00}T_{11}$ 型の変換項が、1+1次元の局所場の理論の広いクラスにおいて、$T\overline{T}$ と同様の普遍的特徴を生成することを示すこと。

提案手法

• ローレンツ不変性や複素構造に依存しないように、ザモロドチコフの元来の $T\overline{T}$ 議論をデカルト座標系に再定式化する。
• 変換を、行動の増分的変更として定義する：$\delta S = -2\delta t \int \epsilon_{ik}\epsilon_{jl} T_{ij}T_{kl} \, d^2x$、ここで $\epsilon$ はレヴィチビタテンソル。
• 非ローレンツ不変理論における変換演算子を曖昧さなく定義するために、点分割正則化を用いる。
• 空間円周 $R$ 上でのエネルギー準位の進化を分析することで、変換下での有限サイズスペクトルに対する微分方程式を導出する。
• 特徴線法と第二量子化における正確解を用いて、ラグランジアンの進化方程式を解き、特に非相対論的理想気体の例に適用する。
• 進化方程式の完全解を用いて、変換された理論の熱力学的挙動（ハゼルドン転移、高温でのエネルギー飽和など）を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ不変2次元量子場理論に限らない範囲で、$T\overline{T}$ 変換およびその可解性を一般化できるか？
• RQ2 非相対論的およびリフシッツ型場の理論において、$\det T$ 変換下での有限サイズスペクトルを記述する微分方程式は、依然として有効か？
• RQ3 エネルギーフラックスが非ゼロである場合に、非ローレンツ不変 $\det T$ 変換理論におけるエネルギースペクトルおよび $S$-行列の挙動はいかなるものか？
• RQ4 非ローレンツ不変 $\det T$ 変換理論は、ハゼルドン的密度状態または無限温度でのエネルギー飽和を示すか？
• RQ5 エネルギー密度と圧力の積に比例する $T_{00}T_{11}$ 型の変換は、ローレンツ対称性がなくても、1+1次元の局所場の理論において普遍的に関連しているか？

主な発見

• ローレンツ不変性下では標準的な $T\overline{T}$ 変換に還元される $\det T$ 変換は、非相対論的流体やリフシッツ型系を含む非ローレンツ不変場の理論へ自然に一般化される。
• エネルギー電流がゼロの状態では、変換された理論の有限サイズスペクトルが相対論的ケースと同一の微分方程式に従うため、スペクトル進化の普遍性が確認される。
• エネルギー電流が非ゼロの場合、電流のアンサンブルが必要となるが、その結果得られる方程式は依然として非摂動的解を有し、物理的解釈は不明のままである。
• $t < 0$ の場合、変換された理論はハゼルドン的密度状態を示し、指数関数的に状態が増加する高エネルギー相を示す。
• $t > 0$ の場合、無限温度でエネルギー密度が有限値に飽和し、負の温度に対応する第二の分岐が存在する。これは相対論的 $T\overline{T}$ 場合と類似している。
• 非相対論的理想気体の例では、変換により $\sum_{a \neq b} p_a p_b (p_a - p_b)^2 \delta(x_a - x_b)$ に比例する2体相互作用項が生成され、これはソフトコア散乱と解釈できる。特徴線法を用いてラグランジアンの完全な進化が正確に解かれ、$F(t,X) = X / (1 - t F(t,X))^2$ を得る。