[論文レビュー] Tail asymptotic of the stationary distribution for the state dependent (1,R)-reflecting random walk: near critical

Wenming Hong, Ke Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、状態依存型(1,2)-反射ランダムウォークの正再帰性の明示的基準を確立し、内在的な分岐過程構造を用いて定常分布を導出する。遷移確率が零再帰境界に近づく「近臨界的」領域における定常分布の尾挙動を、摂動項 $\varepsilon_i$ を含む級数の収束に依存する形で示し、正再帰性が成り立つ場合には $\log \pi(i) \sim -\kappa \sum_{k=0}^i \varepsilon_k$ という対数的減衰率を示す。

ABSTRACT

In this paper, we consider the $(1,R)$ state-dependent reflecting random walk (RW) on the half line, allowing the size of jumps to the right at maximal $R$ and to the left only 1. We provide an explicit criterion for positive recurrence and the explicit expression of the stationary distribution based on the intrinsic branching structure within the walk. As an application, we obtain the tail asymptotic of the stationary distribution in the "near critical" situation.

研究の動機と目的

• R=2 の状態依存型(1,R)-反射ランダムウォークの正再帰性に関する厳密な基準を確立すること。
• ウォークが持つ内在的分岐構造を用いて、定常分布の明示的表現を導出すること。
• 遷移確率が零再帰境界に近づく「近臨界的」領域における定常分布の尾の挙動を分析すること。
• 遷移確率 $\varepsilon_i \to 0$ に従って、ウォークが零再帰から正再帰に移行する正確な条件を特定すること。

提案手法

• $\mu(i)$ を、状態依存的ジャンプレートから導出された遷移行列 $M_i$ の積を用いて定義する。
• 行列 $M_i$ を用いて分岐過程構造をモデル化し、$\theta_k(i) = \frac{p_k(i) + \cdots + p_R(i)}{q(i)}$ と定義する。
• 行列積 $M_{i-1}^\prime \cdots M_1^\prime$ の漸近的解析に、行列 $T$ を用いた相似変換と固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ を適用する。
• 対角化と積の推定を用いて $\mu(i)$ の漸近的挙動を確立し、$\mu(i) \sim c \cdot \prod_{k=0}^{i-1} (1 - \kappa \varepsilon_k)$ を得る。
• 対数近似 $\log(1 - \kappa \varepsilon_k) \sim -\kappa \varepsilon_k$ を用いて $\mu(i)$ の減衰率を導出する。
• $\sum \mu(i)$ および $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ の収束性を評価し、再帰性の種別を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態依存型(1,2)-反射ランダムウォークが正再帰的であるための条件は何か？
• RQ2 遷移確率が零再帰境界に近づく際、定常分布の尾はどのように振る舞うか？
• RQ3 遷移確率 $p_1(i) + 2p_2(i) \to q(i)$ に近づく「近臨界的」領域において、$\pi(i)$ の正確な漸近的減衰率は何か？
• RQ4 $\sum \varepsilon_i$ および $\sum \varepsilon_i^p$ の収束性が再帰性分類に与える影響は何か？
• RQ5 $\varepsilon_i \to 0$ がゆっくりである場合、正再帰と零再帰の境界はどのように決定されるか？

主な発見

• 定常測度 $\mu(i)$ は $\mu(i) = \frac{1}{q(i)} \alpha M_1 \cdots M_{i-1} e_1^\prime$ として明示的に与えられ、$M_i$ は状態依存的遷移構造を符号化する。
• 正再帰性は $\sum_{i=0}^\infty \mu(i) < \infty$ が成り立つ場合に限り成立し、これは $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ の収束性に依存する。ここで $\kappa = \frac{4}{q}$ である。
• 正再帰の場合、定常分布の尾は $i \to \infty$ のとき $\log \pi(i) \sim -\kappa \sum_{k=0}^i \varepsilon_k$ を満たし、これは伸びた指数的減衰を示唆する。
• $\varepsilon_i = C i^{-\alpha}$ の場合、$\alpha > 1/2$ かつ $\alpha = 1$ のとき $C\kappa > 1$ ならば正再帰的であり、$\alpha > 1$ ならば $\alpha < 1$ の場合でも正再帰的である。
• $\sum \varepsilon_i < \infty$ であっても、すべての $P(i) \in D$ であっても、ウォークは零再帰的である。これは再帰性の種別が境界への収束速度に敏感であることを示している。
• 再帰性の臨界閾値は $\sum \prod_{k=0}^i e^{-\kappa \varepsilon_k}$ の収束性によって決定され、これが定常測度の和が収束するかどうかを支配する。