[論文レビュー] Tails of optimal transport plans for regularly varying probability measures

Cees de Valk, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、R^dにおける正則変動する確率測度間の最適輸送写像および結合測度の存在と安定性を確立し、McCannの理論をM₀(R^d)における無限測度へと拡張する。また、スケーリングされた輸送写像および結合測度が、異なる同次性の性質を示す極限に収束することを証明し、極値理論における尾部正則性解析および多変量分位数推定に寄与する。

ABSTRACT

For the basic case of $L_2$ optimal transport between two probability measures on a Euclidean space, the regularity of the coupling measure and the transport map in the tail regions of these measures is studied. For this purpose, Robert McCann's classical existence and uniqueness results are extended to a class of possibly infinite measures, finite outside neighbourhoods of the origin. For convergent sequences of pairs of such measures, the stability of the multivalued transport maps is considered, and a useful notion of locally uniform convergence of these maps is verified under light assumptions. Applied to regularly varying probability measures, these general results imply the existence of tail limits of the transport plan and the coupling measure, these objects exhibiting distinct types of homogeneity.

研究の動機と目的

• 正則変動する条件下における確率測度間の最適輸送計画の尾部挙動を研究すること。
• M₀(R^d)、つまり原点の近傍を除いて有界な測度の空間における、L₂-最適輸送のMcCannの存在および一意性結果を、無限測度に対しても拡張すること。
• M₀(R^d)における収束のもとで、多価写像としての輸送写像の安定性を確立し、弱い仮定のもとで局所一様収束を示すこと。
• 正則変動する測度に対してスケーリングされた最適結合測度および輸送写像の漸近的挙動を分析し、その極限における同次性の性質を同定すること。
• 高次元設定における最適輸送に基づく多変量分位数および極値分析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 原点の近傍を除いて有界な測度の空間M₀(R^d)へと古典的L₂-最適輸送理論を拡張し、無限全質量を許容する。
• 循環単調性および最大単調写像理論を用いて、M₀(R^d)に属する測度の最適輸送写像の存在および一意性を確立する。
• 多価写像としての輸送写像の局所一様収束の概念を導入し、M₀(R^d)における収束のもとで安定性を証明する。
• 集合値写像の図形的収束理論を応用し、閉グラフおよび外半連続性の性質を活用して極限の挙動を制御する。
• 正則変動する測度に付随する輸送写像および結合測度をスケーリングし、コンパクト性および同次性の議論を用いて収束を分析する。
• M₀(R^d)における経験的測度がその尾部強度測度に収束することを応用し、正則変動と最適輸送の極限を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送写像および結合測度は、それらの元となる確率測度の正則変動性を引き継ぐことができるか？
• RQ2 入力測度が正則変動する場合、スケーリングされた最適輸送写像および結合測度の極限挙動は何か？
• RQ3 特に極限測度が無限である場合に、M₀(R^d)における多価写像としての輸送写像の安定性はどのように確立できるか？
• RQ4 尾領域における極限対象（輸送写像および結合測度）を特徴づける同次性の種類は何か？
• RQ5 弱い仮定のもとで、輸送写像の図形的収束をどれほど強く、局所一様収束に高められるか？

主な発見

• 正則変動する確率測度間の最適輸送写像および結合測度は、適切なスケーリングのもとで収束する部分列を有する。
• 極限結合測度は、正則変動する測度の尾指数に関連する特定の種類の同次性を示す。
• 極限輸送写像は、結合測度とは異なる形式の同次性を示し、最適輸送問題の構造を反映している。
• M₀(R^d)における多価写像としての輸送写像の安定性が確立され、弱い仮定のもとで局所一様収束が得られる。
• 正則変動に加えて弱い追加仮定のもとで、スケーリングされた輸送写像の極限への収束が保証される。
• 結果として、McCannの理論がM₀(R^d)における無限測度へと拡張され、極値理論および多変量分位数解析における最適輸送の基盤が提供される。