[論文レビュー] Tamed Symplectic forms and SKT metrics

Nicola Enrietti, Anna Fino+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、不変複素構造を備えた非トーラス的ニルマンフォールドが、複素構造をtamingするシンプレクティック形式をもたないことを確立し、このような多様体が2段階ニルポテンツである場合にのみSKT計量をもつことを示している。著者らは、8次元の不変複素構造をもつニルマンフォールドでSKT計量をもつものについて分類を行い、SKT条件がリーマン代数の構造に強く代数的制約を課すことを示している。特に、基本形式の$̅\partial\overline{\partial}$-閉性を通じてその制約が顕わになる。

ABSTRACT

Symplectic forms taming complex structures on compact manifolds are strictly related to Hermitian metrics having the fundamental form $\partial \bar \partial $-closed, i.e. to strong Kähler with torsion (${ m SKT}$) metrics. It is still an open problem to exhibit a compact example of a complex manifold having a tamed symplectic structure but non-admitting Kähler structures. We show some negative results for the existence of symplectic forms taming complex structures on compact quotients of Lie groups by discrete subgroups. In particular, we prove that if $M$ is a nilmanifold (not a torus) endowed with an invariant complex structure $J$, then $(M, J)$ does not admit any symplectic form taming $J$. Moreover, we show that if a nilmanifold $M$ endowed with an invariant complex structure $J$ admits an ${ m SKT}$ metric, then $M$ is at most 2-step. As a consequence we classify 8-dimensional nilmanifolds endowed with an invariant complex structure admitting an SKT metric.

研究の動機と目的

• リー群の離散部分群によるコンパクト商に、複素構造をtamingするシンプレクティック形式が存在するかを調査すること。
• このような多様体がSKT（ねじれを伴う強いケーラー）計量をもつための条件を特定すること。
• 不変複素構造をもつ8次元ニルマンフォールドでSKT計量をもつものについて分類すること。
• 基本形式の$̅\partial\overline{\partial}$-閉性条件を用いて、ニルマンフォールド上でのヘルミート-シンプレクティック構造の障害を確立すること。

提案手法

• ヘルミート-シンプレクティック構造が存在するための必要十分条件として、基本形式$ω$が$\partial\omega = \overline{\partial}\beta$を満たすような$\partial$-閉な$(2,0)$-形式$\beta$が存在することを示し、コhomologicalな障害を特定する。
• リー群上の不変構造を用いて問題をリーマン代数のレベルに還元し、特にニルポテンツおよび可解リー代数に注目する。
• 複素構造をもつ8次元ニルポテンツリー代数の構造方程式を解析し、SKT条件$\partial\overline{\partial}\omega = 0$が成立する条件を同定する。
• 2段階ニルポテンツリー代数の分類を適用し、ニルマンフォールド上のSKT計量が存在するためにはリー代数が2段階ニルポテンツでなければならないことを用いる。
• 構造定数とヘルミート計量成分を用いたSKT方程式の明示的計算を通じて、必要十分条件を導出する。
• 既知のニルマンフォールドにおけるHKTおよびSKT構造の結果を活用し、これらの幾何構造の存在を比較・対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変複素構造をもつ非トーラス的ニルマンフォールドは、複素構造をtamingするシンプレクティック形式をもてるか？
• RQ2 ニルマンフォールドのリー代数にどのような代数的条件が、SKT計量の存在を保証するか？
• RQ3 不変複素構造をもつ8次元ニルマンフォールドでSKT計量をもつものは存在するか？もし存在するならば、どのように分類できるか？
• RQ4 ニルマンフォールド上のSKT条件は、その背後にあるリー代数が2段階ニルポテンツであること implies か？
• RQ5 ヘルミート-シンプレクティック構造の存在と、基本形式の$\partial\overline{\partial}$-閉性との関係は何か？

主な発見

• 中心と交換子部分代数を含む障害によって、不変複素構造をもつ非トーラス的ニルマンフォールドは、複素構造をtamingするシンプレクティック形式をもたないことが示された。
• 8次元の不変複素構造をもつニルマンフォールドがSKT計量をもつのは、その背後にあるリー代数が2段階ニルポテンツである場合に限る。
• 著者らは、不変複素構造をもつ8次元ニルマンフォールドでSKT計量をもつものすべてを分類し、それらがヘイゼンベルク型代数の拡張として特定された。
• 8次元リー代数の第一の族に対して、すべてのヘルミート計量でSKT方程式が自動的に満たされるわけではないことが示され、条件が非自明であることが明らかになった。
• リー代数$\mathfrak{h}_5 \oplus \mathbb{R}^3$は弱HKT構造をもつがSKT構造をもたない一方、$\mathfrak{h}_3^\mathbb{C} \oplus \mathbb{R}^2$および$\mathfrak{h}_7^Q \oplus \mathbb{R}$は両方の構造をもつ。
• ニルマンフォールド上のSKT条件は、ヘルミート計量の選択とは無関係に、複素構造とリー代数構造にのみ依存する。これは、構造定数を用いたSKT方程式の形から明らかになった。