[論文レビュー] Tangent and cotangent lifts and graded Lie algebras associated with Lie algebroids

Janusz Grabowski, Paweł Urbański|ArXiv.org|Oct 14, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意のリー代数束に対して一般化されたシューテン、フロリッヒャー＝ニエンハイズ、フロリッヒャー＝リチャードソン括弧を導入し、これらの構造の接束および余接束への持ち上げを定義する。これらの持ち上げにおける次数付きリー括弧の振る舞いを確立することで、標準的接束リー代数束の場合におけるフロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧と対称シューテン括弧の新しい共通一般化が得られるとともに、古典的括弧をシューテン枠組みに埋め込むことが可能になる。

ABSTRACT

Generalized Schouten, Froelicher-Nijenhuis and Froelicher-Richardson brackets are defined for an arbitrary Lie algebroid. Tangent and cotangent lifts of Lie algebroids are introduced and discussed and the behaviour of the related graded Lie brackets under these lifts is studied. In the case of the canonical Lie algebroid on the tangent bundle, a new common generalization of the Froelicher-Nijenhuis and the symmetric Schouten brackets, as well as embeddings of the Nijenhuis-Richardson and the Froelicher-Nijenhuis bracket into the Schouten bracket, are obtained.

研究の動機と目的

• 任意のリー代数束へのシューテン、フロリッヒャー＝ニエンハイズ、フロリッヒャー＝リチャードソン括弧の一般化を図ること。
• リー代数束の接束および余接束への持ち上げを定義・解析し、それらが次数付きリー括弧とどのように整合するかを明らかにすること。
• 古典的括弧（ニエンハイズ＝リチャードソン、フロリッヒャー＝ニエンハイズ）をシューテン括弧構造に埋め込むための統一的枠組みを確立すること。
• 標準的接束リー代数束において、フロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧と対称シューテン括弧の共通一般化を含む、新たな代数的構造を明らかにすること。

提案手法

• 著者たちは、リー代数束構造とそのアンカー写像を用いて、リー代数束の外冪代数上に一般化されたシューテン括弧を定義する。
• 彼らは、リー代数束の圏から自身への関手としての接束および余接束への持ち上げを定義し、それらが基礎となるベクトル束構造を保存する。
• 次数付きリー代数の空間上の自己準同型の構造を用いて、フロリッヒャー＝ニエンハイズおよびフロリッヒャー＝リチャードソン括弧をリー代数束へ拡張する。
• 外冪代数および次数付き自己準同型への誘導作用を通じて、これらの括弧が接束および余接束への持ち上げの下での振る舞いを分析する。
• フロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧と対称シューテン括弧を統合する新しい括弧を、リー代数束の接束上に構成する。
• 本稿では、ニエンハイズ＝リチャードソン括弧とフロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧が接束持ち上げ構成を通じてシューテン括弧に埋め込まれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シューテン、フロリッヒャー＝ニエンハイズ、およびフロリッヒャー＝リチャードソン括弧を任意のリー代数束へどのように一般化できるか。
• RQ2 リー代数束の接束および余接束への持ち上げの代数的構造は何か。また、それらは次数付きリー括弧とどのように相互作用するか。
• RQ3 フロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧と対称シューテン括弧を、接束リー代数束上での一様な枠組み内で統合できるか。
• RQ4 ニエンハイズ＝リチャードソン括弧とフロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧は、接束持ち上げの下でシューテン括弧とどのように関係するか。
• RQ5 これらの一般化された持ち上げおよび括弧を通じて、標準的接束リー代数束において新たな微分幾何的・代数的構造がどのように生じるか。

主な発見

• 任意のリー代数束の外冪代数上に一般化されたシューテン括弧が定義され、古典的シューテン括弧がより広い設定へ拡張される。
• リー代数束の接束および余接束への持ち上げは、外冪代数上の次数付きリー代数構造を保存する関手として構成される。
• フロリッヒャー＝ニエンハイズおよびフロリッヒャー＝リチャードソン括弧がリー代数束へ拡張され、持ち上げの下での整合性が詳細に分析される。
• 標準的リー代数束（接束上）の場合、フロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧と対称シューテン括弧の新しい共通一般化が得られる。
• ニエンハイズ＝リチャードソン括弧とフロリッヒャー＝ニエンハイズ括弧が接束持ち上げを通じてシューテン括弧に埋め込まれることが示され、統一的代数的枠組みが提供される。
• 本稿では、リー代数束の次数付き自己準同型の空間上の次数付きリー括弧が、接束および余接束持ち上げの両方と整合することを確立し、基礎となる代数的構造が保存されることを示している。