[論文レビュー] Tangent points of lower content $d$-regular sets and $\beta$ numbers

Michele Villa|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、R^n 内の下位内容 d-正則集合における接平面の存在と β-数値の積分の有限性の間の同値性を確立する。Hd-ほとんど everywhere な点が接点であるための必要十分条件は、内容に基づく β 係数の L^2 積分が有限であることである。主な貢献は、Bishop と Jones の 1次元結果を、β 係数の最適な可積分性条件下で高次元に拡張したことである。Hausdorff 内容に基づく Jones の β 数の変種を用いることで、非 σ-有限な Hausdorff 測度の問題に対処する。

ABSTRACT

Given a lower content $d$-regular set in $\mathbb{R}^n$, we prove that the subset of points in $E$ where a certain Dini-type condition on the so-called Jones $\beta$ numbers holds coincides with the set of tangent points of $E$, up to a set of $\mathcal{H}^d$-measure zero. The main point of our result is that $\mathcal{H}^d|_E$ is not assumed to be $\sigma$-finite; because of this, we use a certain variant of the $\beta$ coefficient, firstly introduced by Azzam and Schul in [AS1], which is given in terms of integration with respect to the Hausdorff content.

研究の動機と目的

• Hausdorff 内容に基づく新しい Jones の β 数の変種を用いて、R^n 内の下位内容 d-正則集合の接点を特徴付けること。
• Hd|E が σ-有限でないという問題を解決することにより、標準的な可解性技法が適用できない状況に対処すること。
• Bishop と Jones (2011) の Jordan 曲線に関する 1次元結果を、d ≥ 1 における R^n 内の d-正則集合へ拡張すること。
• 最適な可積分性条件下で、4つの異なる接点の定義（T1–T4）の同値性を確立すること。
• Hd-零集合を除き、接点の集合が βp,d 積分が有限である集合と一致することを証明すること。

提案手法

• Hausdorff 内容に対する積分を用いて定義される、内容に基づく β 係数 βp,d_E(x,r) を導入し、元々の Jones の定義における標準的な L∞ 範数を置き換える。
• アービットラリな空間を dyadic 立方体に分割する Whithey 型の分解と、それに関連する内在的立方体を用いて、小スケールでの解析を局所化する。
• 下位内容 d-正則集合に対して、アナリストのトラベリングセールズマン定理の変種を適用し、Azzam-Schul の β 係数フレームワークに依存する。
• 一貫した球と平面の族を用いた被覆論法を採用し、Lipschitz 定数と射影を用いて歪みを精密に制御する。
• Whitney 立方体における幾何的制御を用いて、E の点から候補となる接平面までの距離をバインドすることで、β 係数近似における誤差項の主要な推定を得る。
• Hd(E) < ∞ および下位内容正則性条件を用いて、dyadic 立方体上での β 係数のsummability を導出し、結果として L^2 可積分性を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ∫₀^diam(E) βp,d_E(x,t)² dt/t の有限性が、x ∈ E における接平面の存在を保証するための条件は何か？
• RQ2 Hd|E が σ-有限でない場合に、接点の概念を一貫して定義する方法は何か？
• RQ3 d ≥ 3 の場合に、βp,d 積分が d-正則集合における接点を特徴付けるために最適な p の範囲は何か？
• RQ4 σ-有限性が成り立たない状況下で、T1–T4 の異なる接点定義どうしがどのように関係するか？
• RQ5 Bishop と Jones が Jordan 曲線に対して得た 1次元結果を、高次元の d-正則集合へ一般化できるか？

主な発見

• 有界な d-下位内容正則集合 E ⊂ R^n に対して、∫₀^diam(E) βp,d_E(x,t)² dt/t < ∞ を満たす点の集合は、Hd-測度において完全である。これは、T2 の意味での接点の集合が Hd-測度において完全であることに同値である。
• T1（β 積分の有限性）、T2（平面への一様距離）、T3（Hausdorff 距離による平面への近似）、T4（近似的な接条件）の4つの定義は、Hd-零集合を除き同値である。
• d = 1 または d = 2 の場合、任意の 1 ≤ p < ∞ で成立する。d ≥ 3 の場合、1 ≤ p ≤ 2d/(d−2) で成立し、これは L^p 理論における最適な範囲である。
• β 積分条件を満たす点の集合 E₀ ⊂ E は d-可解的である。つまり、Hd-零集合を除き、R^d のリプシッツ写像による可算個の像で被覆可能である。
• 証明により、E を接平面で近似する際の誤差は β 係数によって制御され、Hd-ほとんど everywhere な x ∈ E に対して、dyadic 立方体上の β² の和が有限であることが示された。
• この結果は、Bishop と Jones の 1999 年の Jordan 曲線に関する定理を、同じ積分条件が接点を特徴付けるという形で高次元の d-正則集合へ一般化したものである。