[論文レビュー] Tannaka duality and convolution for duoidal categories

Thomas Booker, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、水平的モノイド $M$ 上のビモノイド構造と、ベースのデュアイトイド圏 ${\cal{F}}$ の縦方向モノイド構造を引き上げる右 $M$-加群の圏 ${\cal{F}}^{*M}$ 上のモノイド構造との間の関係を、Tannaka双対性枠組みで確立する。主な貢献は、${\cal{F}}$ におけるビモノイドの圏の反対圏と、${\cal{F}}$ への代表的モノイド関手の圏との間のバイアジュンクションを構築し、豊富な圏論と内部ホム関手におけるモノイド関手を通じて、古典的コントリビューションとデイ・コントリビューションを統一する。

ABSTRACT

Given a horizontal monoid M in a duoidal category F, we examine the relationship between bimonoid structures on M and monoidal structures on the category of right M-modules which lift the vertical monoidal structure of F. We obtain our result using a variant of the Tannaka adjunction. The approach taken utilizes hom-enriched categories rather than categories on which a monoidal category acts ("actegories"). The requirement of enrichment in F itself demands the existence of some internal homs, leading to the consideration of convolution for duoidal categories. Proving that certain hom-functors are monoidal, and so take monoids to monoids, unifies classical convolution in algebra and Day convolution for categories. Hopf bimonoids are defined leading to a lifting of closed structures. Warped monoidal structures permit the construction of new duoidal categories.

研究の動機と目的

• 二つの互いに適合するモノイド構造を持つ設定に、古典的結果を拡張したデュアイトイド圏におけるTannaka双対性理論を構築すること。
• 水平的モノイド $M$ 上のビモノイド構造と、$M$-加群の圏 ${\cal{F}}^{*M}$ 上のモノイド構造との対応関係を明確にすること。
• 豊富な圏論と内部ホム関手に基づく一般枠組みを通じて、代数における古典的コントリビューションとプレシェーブのためのデイ・コントリビューションを統一すること。
• 新しいデュアイトイド圏の構成に用いるためのホープ・ビモノイドとワーブドモノイド構造を導入し、それらを研究すること。

提案手法

• ${\cal{F}}$-豊富な圏の文脈におけるTannaka随伴の変種を用い、加群圏間のモノイド関手に焦点を当てる。
• ベースのデュアイトイド圏 ${\cal{F}}$ において豊富化されたホム関手を用い、コントリビューション構造を定義するために内部ホムを必要とする。
• 縦方向モノイド構造とモノイドレ・乗法 $\hat{\circ}$ を用いて、モノイド的2カテゴリ ${\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}{\cal{F}}$ を構成する。
• モノイドから代表的関手への強いモノイド関手 $\operatorname{mod} : (\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}} \to {\cal{F}}\textrm{-Cat}\downarrow^{\operatorname{ps}}_{\operatorname{rep}}{\cal{F}}$ を定義する。
• $(\operatorname{Bimon} {\cal{F}}_h)^{\operatorname{op}}$ と代表的モノイド関手の圏との間のバイアジュンクションを適用し、双対性を導出する。
• モノイド関手 $T$ とモノイド $K$、整合性同型 $v$ と $k$ を用いたワーブドモノイド構造を導入し、既存のモノイド構造から新しいデュアイトイド圏を構成可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド圏からデュアイトイド圏（二つの適合するモノイド構造を持つ）へのTannaka双対性は、どのように一般化できるか？
• RQ2 水平的モノイド $M$ の加群圏が、ベース圏の縦方向モノイド構造を引き上げるモノイド構造をどのように持ち得るか、その条件は何か？
• RQ3 ビモノイド構造 $M$ と ${\cal{F}}^{*M}$ 上のモノイド構造との間の対応関係は、どのような圏論的メカニズムによって実現されるか？
• RQ4 内部ホム関手と豊富な圏論は、この枠組みの中で、古典的コントリビューションとデイ・コントリビューションをどのように統一するか？
• RQ5 「ワーピング」を用いて、既存のモノイド構造からどのようにして新しいデュアイトイド圏を体系的に構成できるか？

主な発見

• ${\cal{F}}_h$ におけるビモノイドの圏の反対圏と、${\cal{F}}$ への代表的モノイド関手の圏との間でバイアジュンクションが確立され、ビモノイド構造に対する圏論的双対性が提供される。
• モノイドから代表的関手への強いモノイド関手 $\operatorname{mod}$ を通じて、$M$ 上のビモノイド構造と ${\cal{F}}^{*M}$ 上のモノイド構造との対応関係が特徴づけられる。
• 豊富化された設定におけるホム関手がモノイド的であることが示され、それらがモノイド構造を保存することを保証し、これにより古典的コントリビューションとデイ・コントリビューションが統一される。
• デュアイトイド設定においてホープ・ビモノイドが定義され、${\cal{F}}$ からの閉じた構造が ${\cal{F}}^{*M}$ に引き上げられ、ホープ代数の概念が一般化される。
• モノイド関手 $T$、モノイド $K$、整合性同型 $v$ と $k$ を用いたワーブドモノイド構造が構成され、既存のものから新しいデュアイトイド圏が得られる。
• ホムの評価を用いて ${\cal{F}}_h$-Cat にモノイドレ構造を構成することができ、${\cal{F}}$ が水平方向左閉であるとき、${\cal{F}}_h$ が ${\cal{F}}_h$-圏であることが確認される。