[論文レビュー] Tannaka duality for comonoids in cosmoi

Daniel Schäppi|ArXiv.org|Nov 5, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限次元ベクトル空間の代わりに双対を持つ対象を用いることで、任意のコスモイ（完全かつ完備な対称的モノイダル閉圏）におけるコモノイドへTannaka双対性を一般化する。コモノイドの表現の圏からその再構成が可能であるための必要十分条件を確立し、特定のコモノイドの表現と同値な圏を特徴づける。さらに、p進ガロア表現理論におけるフィルター付き加群の分野への応用を含む。

ABSTRACT

A classical result of Tannaka duality is the fact that a coalgebra over a field can be reconstructed from its category of finite dimensional representations by using the forgetful functor which sends a representation to its underlying vector space. There is also a corresponding recognition result, which characterizes those categories equipped with a functor to finite dimensional vector spaces which are equivalent to the category of finite dimensional representations of a coalgebra. In this paper we study a generalization of these questions to an arbitrary cosmos, that is, a complete and cocomplete symmetric monoidal closed category. Instead of representations on finite dimensional vector spaces we look at representations on objects of the cosmos which have a dual. We give a necessary and sufficient condition that ensures that a comonoid can be reconstructed from its representations, and we characterize categories of representations of certain comonoids. We apply this result to certain categories of filtered modules which are used to study p-adic Galois representations.

研究の動機と目的

• 体上のコアルゲブラに対する古典的Tannaka双対性を、コモノイドが任意のコスモイに属するようなより広範な圏的設定へ拡張すること。
• コモノイドがその表現の圏（双対を持つ対象への忘却関手を備えたもの）から再構成可能であるための必要十分条件を同定すること。
• コスモイへの関手を備えた圏が、あるコモノイドのコモジュール圏と同値であるための特徴づけをすること。
• 一般化された双対性を、p進ホッジ理論やガロア表現論で重要なフィルター付き加群の圏に応用すること。
• コエンドと密度を用いて、豊密化圏的設定における意味論-構造随伴とTannakian双随伴を確立すること。

提案手法

• 豊密化圏論におけるコエンドを用いて、表現関手からコモノイドを再構成する。古典的コアルゲブラ再構成の一般化として、$ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $ を用いる。
• 双対可能生成子を備えたコスモイ上の小$ \mathscr{V} $-圏の圏とコモノイドの圏との間で、意味論-構造随伴を構成する。
• $ \mathscr{V} $-密度と$ \mathscr{X} $-テンソル化圏の概念を適用し、関手の表現可能性と余極限構成を保証する。
• コエンドの普遍性を用いて、コモノイドの準同型と表現関手を上に持ち上げる関手との間の自然な全単射を確立する。
• コモノイドからそのコモジュール圏への関手に対する左随伴を構成することで、Tannakian双随伴を導入する。
• 対称的モノイダル圏における豊密自然変換と整合性図式に依拠し、再構成の存在性と一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コスモイ内のコモノイドが、双対を持つ対象値をとるその表現の圏から、どのような条件下で再構成可能か？
• RQ2 双対可能生成子を備えたコスモイへの関手を備えた圏が、あるコモノイドのコモジュール圏と同値となるのはどのような場合か？
• RQ3 体上のコアルゲブラに対する古典的Tannaka双対性は、どのように任意のコスモイへ一般化されるか？
• RQ4 豊密化設定における再構成定理と識別定理を可能にするために、密度と双対可能性が果たす役割は何か？
• RQ5 この理論は、p進ガロア表現理論で用いられるような、算術幾何におけるフィルター付き加群の圏にどのように応用可能か？

主な発見

• コスモイ$ \mathscr{V} $内のコモノイド$ C $は、$ \mathscr{V} $における双対的対象の完全部分圏への忘却関手を備えたコモジュール圏$ \operatorname{Comod}(C) $から再構成可能である。その条件として、表現関手が$ \mathscr{V} $-密度をもち、圏が小であることが必要十分である。
• 再構成はコエンド$ L(\omega) = \int^{A \in \mathscr{A}} \omega(A) \otimes \omega(A)^\vee $を用いて達成され、$ \omega $が$ \operatorname{Comod}(C) $上の忘却関手であるとき、これは$ C $に同型なコモノイドを形成する。
• $ \mathscr{V} $-線形関手$ \omega: \mathscr{A} \to \mathscr{V} $が双対的対象値をとるとき、$ \mathscr{A} $が小$ \mathscr{V} $-圏であり、$ \omega $が忠実かつ完全であり、かつ$ \omega $の像が余極限に関して生成するとき、$ \omega $は$ \operatorname{Comod}(L(\omega)) $上の忘却関手と同値である。
• 意味論-構造随伴は、コモノイドからそのコモジュール圏への関手に対する左随伴として確立され、その単位と余単位は随伴の普遍性を満たす。
• 双対性と整合性を保つフィルター付き加群の圏に理論を適用し、$ p $-進ガロア表現論におけるフィルター付き$ \mathscr{V} $-コモジュールを通じてTannakian枠組みを提供する。
• 密度的で自己双対的生成子$ \mathscr{X} $が存在するとき、任意のプレシアフ$ F \in \mathcal{P}\mathscr{A} $は、$ \mathscr{A}/F $上のタウトロジカル図式の錐型余極限として現れる。これにより表現可能性が保証され、再構成が可能になる。