[論文レビュー] Tannaka duality for enhanced triangulated categories

J. P. Pridham|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Hochschild homologyを用いて有限次元複体へのdg関手からdgコモノイドを構成することにより、強化された三角的圏におけるTannaka双対性を確立する。関手が忠実であるとき、A-加群の導来dg圏とC-コモジュールの導来dg圏の間に quasi-equivalence が誘導され、Morita fibrant なdg圏へ双対性を拡張し、pro代数的ホモトピー型やモチーフ的ガロア群への応用を可能にする。

ABSTRACT

We develop Tannaka duality theory for dg categories. To any dg functor from a dg category A to finite-dimensional complexes, we associate a dg coalgebra C via a Hochschild homology construction. When the functor is faithful, this gives a quasi-equivalence between the derived dg categories of A-modules and of C-comodules. When A is Morita fibrant (i.e. an idempotent-complete enhanced triangulated category), it is thus quasi-equivalent to the derived dg category of compact C-comodules. We give several applications for pro-algebraic homotopy types associated to various cohomology theories, and for motivic Galois groups.

研究の動機と目的

• dg圏を用いて、強化された三角的圏の設定へTannaka双対性を拡張すること。
• Hochschild homologyを介して、有限次元複体へのdg関手からdgコモノイドを構成すること。
• 忠実性の下で、A-加群の導来dg圏とC-コモジュールの導来dg圏の間に quasi-equivalence を確立すること。
• コンパクトなC-コモジュールへの quasi-equivalence を与える、Morita fibrant なdg圏（自己射が完備な強化された三角的圏）に焦点を当てる。
• 同調論に起因するpro代数的ホモトピー型を構成するために、フレームワークを応用すること。
• コモノイド構造を用いて、モチーフ的ガロア群を分析する双対性を用いること。

提案手法

• dg圏Aから有限次元複体へのdg関手に対して、Hochschild homologyを用いてdgコモノイドCを関連付ける。
• 双対性構成のターゲットとして、C-コモジュールの導来dg圏を定義する。
• 関手が忠実であるとき、A-加群の導来dg圏とC-コモジュールの導来dg圏の間に quasi-equivalence を確立する。
• 双対性がコンパクトなC-コモジュールへの quasi-equivalence を与える、Morita fibrant なdg圏（自己射が完備な強化された三角的圏）に焦点を当てる。
• 同調論に起因するpro代数的ホモトピー型を構成するために、フレームワークを応用する。
• 双対性を用いて、コモノイドCに関連するモチーフ的関手に対して、モチーフ的ガロア群を対称性として実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tannaka双対性は、代数的群からdg圏を介して強化された三角的圏へどのように一般化可能か？
• RQ2 Hochschild homologyが、有限次元複体への関手を分類するコモノイドを構成する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 A-加群の導来dg圏がC-コモジュールの導来dg圏と quasi-equivalent となる条件は何か？
• RQ4 この双対性フレームワークは、同調論に起因するpro代数的ホモトピー型を構成するためにどのように応用可能か？
• RQ5 双対性は、モチーフ的ガロア群の構造をどのように明らかにするか？

主な発見

• Hochschild homologyを用いたdgコモノイドCの構成により、関手が忠実であるとき、A-加群の導来dg圏とC-コモジュールの導来dg圏の間に quasi-equivalence が得られる。
• Morita fibrant なdg圏において、導来dg圏はコンパクトなC-コモジュールの導来dg圏と quasi-equivalent である。
• 双対性構成は、強化された三角的圏のコモノイド的記述を提供し、古典的Tannaka双対性を拡張する。
• 同調論に起因するpro代数的ホモトピー型の構成は、コモノイド的フレームワークを介して可能になる。
• フレームワークは、モチーフ的ガロア群を、モチーフ的関手に関連するコモノイドCの対称性として実現することにより、新たな視点を提供する。