[論文レビュー] Target Space Entanglement Entropy

Edward A. Mazenc, Daniel Ranard|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2019

Quantum many-body systems参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、代数的アプローチを用いて、ベース空間ではなくターゲット空間の空間的部分領域に関連する観測可能量の部分代数を定義することで、ターゲット空間における量子もつれエントロピーを導入する。これは、第一量子化された多体量子力学における標準的な場理論的結果と整合しており、量子場理論やシグマ模型への拡張も示され、ベース空間の分割が定義されない場合でももつれエントロピーが有限で物理的に意味のあるものであることが示された。

ABSTRACT

We define a notion of target space entanglement entropy. Rather than partitioning the base space on which the theory is defined, we consider partitions of the target space. This is the physical case of interest for first-quantized theories, such as worldsheet string theory. We associate to each subregion of the target space a suitably chosen sub-algebra of observables $\mathcal{A}$. The entanglement entropy is calculated as the entropy of the density matrix restricted to $\mathcal{A}$. As an example, we illustrate our framework by computing spatial entanglement in first-quantized many-body quantum mechanics. The algebra $\mathcal{A}$ is chosen to reproduce the entanglement entropy obtained by embedding the state in the fixed particle sub-sector of the second-quantized Hilbert space. We then generalize our construction to the quantum field-theoretical setting.

研究の動機と目的

• 空間的分割がベース空間ではなくターゲット空間にある量子理論におけるもつれエントロピーを定義すること。これは、第一量子化されたストリング理論や行列力学に由来する動機である。
• ターゲット空間の分割がヒルベルト空間のテンソル積因子分解をもたらさないという課題を解決すること。これは、標準的なもつれエントロピー定義の中心的要素である。
• ワールドシートストリング理論やBFSS行列量子力学のような、ベース空間が点または自明な系においてもつれエントロピーを一貫して計算するフレームワークを確立すること。
• 新しい定義と標準的な第二量子化場理論のもつれエントロピーを比較し、非相対論的多体系において一致することを示すこと。
• 相互作用を含む場理論およびシグマ模型への構成の一般化を行い、有限性と物理的整合性を示すこと。

提案手法

• もつれエントロピーの代数的アプローチを用い、ターゲット空間の部分領域に関連する部分代数への制限によって、縮約密度行列を定義する。
• 多体系量子力学において、空間領域 $A$ 内の位置射影演算子から生成される代数 $\mathcal{A}$ を構成し、ボソン（フェルミオン）の対称（反対称）部分空間に射影する。
• 対称射影子 $P_{S_N}$ を導入することで、代数に多粒子演算子を含め、区別不能な粒子の適切なもつれ構造を可能にする。
• 各粒子数セクター $k$ に制限された代数 $\mathcal{A}$ が因子であることを示し、テンソル積因子分解 $\mathcal{O} = \oplus_k \mathcal{O}_{A_k} \otimes \mathds{1}_{\bar{A}_k}$ を可能にする。これはもつれ構造の根拠となる。
• 2つの格子点上のスカラー場にこのフレームワークを適用し、半空間分割におけるもつれエントロピーを計算し、有限性を確認する。
• 相対論的場理論における2つの局所性の概念——フォックに基づく因子分解と場に基づく因子分解——を比較し、1粒子状態において異なるもつれエントロピーを示す。

Figure 1: Distinction between partitions of the base space (left) versus target space (right). We illustrate the case of 2+1d scalar field theory for concreteness. At every point of the base space ( $\cong\mathbb{R}^{2}$ ) labeled by $\vec{x}$ , the local degree of freedom takes values in the target

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的分割がベース空間ではなくターゲット空間にある場合、もつれエントロピーを一貫して定義することは可能か？
• RQ2 ターゲット空間の部分領域に限定された測定にアクセスするエージェントにとって、正しい観測可能量の部分代数は何か？
• RQ3 提案されたターゲット空間のもつれエントロピーは、非相対論的多体系において、標準的な第二量子化場理論のもつれエントロピーと一致するか？
• RQ4 このフレームワークは、相互作用を含む場理論およびシグマ模型にどのように一般化できるか？
• RQ5 粒子統計（ボソンとフェルミオン）は、ターゲット空間代数およびそれに続くもつれエントロピーの定義にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 適切に多粒子演算子を対称射影子を介して含むように構成された代数 $\mathcal{A}$ を用いることで、非相対論的多体系量子力学において、提案されたターゲット空間のもつれエントロピーは、標準的な第二量子化もつれエントロピーと一致する。
• 1粒子系の場合、代数的フレームワークによって計算されたもつれエントロピーは、標準的な場理論的結果と一致し、最小の設定においてこのアプローチの妥当性を検証した。
• 2つの空間的格子点上のスカラー場に対して、ターゲット空間のもつれエントロピーは有限かつ適切に定義されており、このフレームワークが量子場理論において有効であることを確認した。
• 各粒子数セクター $k$ に制限された代数 $\mathcal{A}$ は因子であるため、テンソル積分解が可能であり、もつれエントロピーがセクターごとの和として正当化される。
• 相対論的場理論における2つの異なる局所性の概念——フォックに基づく因子分解と場に基づく因子分解——は、1粒子状態において異なるもつれエントロピーをもたらし、このような設定における空間的もつれの定義に根本的な曖昧さがあることを示した。
• このフレームワークは、任意のシグマ模型および相互作用を含む場理論へも成功裏に一般化され、もつれエントロピーは有限かつ物理的に意味のあるままである。

Figure 2: (Top) For many of our most promising theories of quantum gravity, such as worldsheeet string theory or the BFSS matrix quantum mechanics, the emergent physical spacetime of interest is encoded in the target space of the theory. (Bottom) To each subregion of the target space, we associate a