[論文レビュー] Tau function and Virasoro action for the nxn KdV hierarchy

Chuu-Lian Terng, Karen Uhlenbeck|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$n\times n$ KdV階層の幾何的枠組みを確立する。具体的には、$\ln\tau_f$ の2階偏導関数が形式的逆散乱解 $u_f$ を再構成できることを証明し、$\ln\tau_f$ に自然に作用するVirasoro作用が偏微分作用素として実現されることを示している。さらに、$n\times n$ KdV階層とGelfand-Dickey (GD$_n$)階層との間の全単射を確立し、この同型のもとで両階層のVirasoro作用が一致することを示している。

ABSTRACT

This is the third in a series of papers attempting to describe a uniform geometric framework in which many integrable systems can be placed. A soliton hierarchy can be constructed from a splitting of an infinite dimensional group $L$ as positive and negative subgroups L_+, L_- and a commuting sequence in the Lie algebra of L_+. Given f in L_-, there is a formal inverse scattering solution u_f of the hierarchy. When there is a 2 co-cycle that vanishes on both subalgebras of L_+ and L_-, Wilson constructed for each f in L_- a tau function tau_f for the hierarchy. In this third paper, we prove the following results for the nxn KdV hierarchy: (1) The second partials of ln(tau_f) are differential polynomials of the formal inverse scattering solution u_f. Moreover, u_f can be recovered from the second partials of ln(tau_f). (2) The natural Virasoro action on ln(tau_f) constructed in the second paper is given by partial differential operators in ln(tau_f). (3) There is a bijection between phase spaces of the nxn KdV hierarchy and the Gelfand-Dickey (GD_n) hierarchy on the space of order n linear differential operators on the line so that the flows in these two hierarchies correspond under the bijection. (4) Our Virasoro action on the nxn KdV hierarchy is constructed from a simple Virasoro action on the negative group. We show that it corresponds to the known Virasoro action on the GD_n hierarchy under the bijection.

研究の動機と目的

• 可積分系、特に$n\times n$ KdV階層の均一な幾何的枠組みを確立すること。
• $\ln\tau_f$ の2階偏導関数から形式的逆散乱解 $u_f$ が再構成可能であることを証明すること。
• $\ln\tau_f$ に自然に作用するVirasoro作用が、偏微分作用素の系として実現されることを示すこと。
• $n\times n$ KdV階層の位相空間と、$n$次線形微分作用素の空間との間の全単射を確立し、Gelfand-Dickey (GD$_n$)階層と関連付けること。
• $n\times n$ KdV階層におけるVirasoro作用が、この全単射のもとで既知のGD$_n$階層におけるVirasoro作用に対応することを証明すること。

提案手法

• リー群 $L(SL(n,\mathbb{C}))$ を正部分群 $L_+$ と負部分群 $L_-$ に分解し、それぞれに対応するリー代数 $\mathcal{L}_+$ と $\mathcal{L}_-$ を用いる。
• $f \in L_-$ に対して、$\mathcal{L}_+$ および $\mathcal{L}_-$ 上で消える2次コchainを用いて、tau関数 $\tau_f$ をWilsonの方法で構成する。
• ゲージ同値性とDrinfeld-Sokolovの商流れを用いて、$n\times n$ KdV階層とGelfand-Dickey階層を関連付ける。
• ゲージ作用のセクションを構成し、セクション流れを定義することで階層構造を解析する。
• 縮約フレームと、その上でのVirasoro代数の作用を用いて、$\ln\tau_f$ 上のVirasoroベクトル場を導出する。
• $\hat{\Psi}$ による全単射を用いて、$n\times n$ KdV階層とGD$_n$階層の間の対応を確立し、誘導されたVirasoro作用がこの写像のもとで一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的逆散乱解 $u_f$ は、$\ln\tau_f$ の2階偏導関数から再構成可能か？
• RQ2 $\ln\tau_f$ に自然に作用するVirasoro作用は、偏微分作用素の系として表現可能か？
• RQ3 $n\times n$ KdV階層の位相空間と、$n$次線形微分作用素の空間との間に全単射が存在し、その流れが一致するか？
• RQ4 この全単射のもとで、$n\times n$ KdV階層におけるVirasoro作用は、既知のGD$_n$階層におけるVirasoro作用に対応するか？
• RQ5 $n\times n$ KdV階層におけるVirasoro作用は、負部分群 $L_-$ の作用からどのように導かれるか？

主な発見

• $\ln\tau_f$ の2階偏導関数は、形式的逆散乱解 $u_f$ に関する微分多項式であり、$u_f$ はこれらの導関数から完全に回復可能である。
• $\ln\tau_f$ に自然に作用するVirasoro作用は、$\ln\tau_f$ 上に作用する偏微分作用素の系として実現されており、その幾何的実現性が裏付けられている。
• $n\times n$ KdV階層の位相空間と、$n$次線形微分作用素の空間との間に標準的な全単射が存在し、両階層の流れがこの写像のもとで一致する。
• $n\times n$ KdV階層は、Gelfand-Dickey (GD$_n$)階層とゲージ同値であり、一方の解を他方の解にアルゴリズム的に変換可能である。
• $n\times n$ KdV階層におけるVirasoro作用は、負部分群の作用から構成されており、全単射 $\hat{\Psi}$ のもとで、既知のGD$_n$階層におけるVirasoro作用と正確に一致する。
• 縮約フレーム $M$ 上のVirasoroベクトル場は $\hat{\Gamma}$ の作用から導出され、その結果得られる表現は、GD$_n$階層における既知のVirasoro作用の形と一致する。