[論文レビュー] Tautological rings of stable map spaces

Anca Mustaţǎ, Andrei Mustaţǎ|ArXiv.org|Jul 18, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、射影空間への安定写像のモジュライ空間のコhomology環およびチャウ環について、境界ストラタとk-類によって生成される拡張されたタウトロジカル環を用いて、完全な代数的表現を提示する。明示的な生成子と関係式を確立し、次数2および3の写像について既知の結果を回復・拡張し、ゲーロフ・ウィンターズ不変量の幾何的直感的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We find a set of generators and relations for the system of extended tautological rings associated to the moduli spaces of stable maps in genus zero, admitting a simple geometrical interpretation. In particular, when the target is $\PP^n$, these give a complete presentation for the cohomology and Chow rings in the cases with/without marked points.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的多様体Xへの安定写像のモジュライ空間のGenus 0における拡張されたタウトロジカル環の体系的構成。
• 特にX = P^nの場合に、これらの環の明示的生成子と関係式の特定。
• 境界ストラタとk-類を用いたタウトロジカル類およびその関係の幾何的解釈の提供。
• ベアレンとオハラノールのd=2,3に関する既知の結果を回復・一般化し、ゲーロフ・ウィンターズ不変量およびタウトロジカル関係の研究。
• Mbar_{0,0}(P^n,d)のコホモロジー環およびチャウ環の完全な表現の確立（標識点を含む・含まないを問わず）。

提案手法

• Xのコホモロジー生成子に関連する評価類およびk-類k_{-1}(α_i)の押し出しを用いて拡張されたタウトロジカル環を定義する。
• 忘却写像および接合写像を用いて、仮想基本クラスと整合性を持つように押し出しに関して閉じた体系を構築する。
• 境界ストラタにおける普遍的関係を適用し、仮想クラスの公理を用いてk-類の再帰的公式を導出する。
• 接合写像のギジン写像を用い、ファイバー積と仮想クラスを介して交差積を定義する。
• D_{h''h} = D_{hh'} + D_{h'h''}のような関係を用いて境界除数項の再帰的簡略化を行い、タウトロジカル関係を単純化する。
• 遷移行列からk-類の再帰行列を構成し、代数的消去法により関係式のイデアルを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mbar_{0,0}(P^n,d)の拡張されたタウトロジカル環の完全な生成子および関係式の集合は何か？
• RQ2 H^*(X)の関係式が、安定写像のモジュライ空間のタウトロジカル環にどのように誘導されるか？
• RQ3 Mbar_{0,0}(P^n,d)における境界ストラタの幾何的構造は何か？ そして、それらはタウトロジカル環にどのように寄与するか？
• RQ4 Mbar_{0,0}(P^n,d)のコホモロジー環およびチャウ環は、タウトロジカル類とk-類を用いて完全に表現可能か？
• RQ5 k-類k_{-1}(α)と境界除数は、Genus 0においてどのようにしてタウトロジカル環を生成するか？

主な発見

• X = P^nの場合、Mbar_{0,0}(P^n,d)の拡張されたタウトロジカル環は、生成子k(H^2), ρ, σ₁, σ₂, σ₃, τと関係式τσ₃, ρσ₃, τ² − ρσ₂, およびU_{n+1}により完全に表現可能である。
• イデアルU_{n+1}は、k-類k_h(H^l)とD_{h\bar{h}}項の関係を符号化しており、k-類の加法性を反映してk(H^{n+1})σ₃に等価である。
• d=3の場合、H^*(Mbar_{0,0}(P^n,3))はk(H^2), ρ, σ₁, σ₂, σ₃, τにより生成され、関係式τσ₃, ρσ₃, τ² − ρσ₂, およびU_{n+1}を満たし、ベアレンとオハラノールのConjecture 4.19と一致する。
• クラスρは各境界成分で(ψ')² = ψ_h²として特定され、ρσ₃はMbar_{h\bar{h}}上でψ_h² = ρであるという恒等式から生じるタウトロジカル関係である。
• 関係式τ² = ρσ₂は、Lemma 3.1および式(3.1)から導出され、codimension-two部分多様体の構造を反映している。
• タウトロジカル環の体系は忘却写像および接合写像に関して不変であり、仮想クラスおよびギジン引き戻しを介して交差積は適切に定義される。