[論文レビュー] Technical Report: Convex Optimization of Nonlinear Feedback Controllers via Occupation Measures

Anirudha Majumdar, Ram Vasudevan+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、多項式力学系における時間制限付き後向き到達集合（BRS）のサイズを最大化する非線形フィードバック制御則の設計のための凸最適化フレームワークを提案する。制御則設計を状態空間と制御空間における軌道分布を表す占有測度上の無限次元線形計画問題（LP）として定式化し、モーメント近似と平方和（SOS）技術を用いて有限次元の半定値計画問題（SDP）の緩和を適用することで、初期化を必要とせず、多項式制御則と最大BRSの外部近似を得られる。非凸なラプラウン法に代わる、グローバルに収束する凸的代替手法である。

ABSTRACT

In this paper, we present an approach for designing feedback controllers for polynomial systems that maximize the size of the time-limited backwards reachable set (BRS). We rely on the notion of occupation measures to pose the synthesis problem as an infinite dimensional linear program (LP) and provide finite dimensional approximations of this LP in terms of semidefinite programs (SDPs). The solution to each SDP yields a polynomial control policy and an outer approximation of the largest achievable BRS. In contrast to traditional Lyapunov based approaches which are non-convex and require feasible initialization, our approach is convex and does not require any form of initialization. The resulting time-varying controllers and approximated reachable sets are well-suited for use in a trajectory library or feedback motion planning algorithm. We demonstrate the efficacy and scalability of our approach on five nonlinear systems.

研究の動機と目的

• 制御入力に飽和がある非作動的・非線形ロボット系に対して、従来の線形化法やラプラウン法が失敗するか初期化を要する問題に対処すること。
• 時間制限付き後向き到達集合（BRS）のサイズを最大化すること、すなわち、有効な制御入力を用いて有限時間内にターゲット集合に到達可能な初期状態の集合を最大化すること。
• 標準のラプラウン法に依存する非凸性と初期化依存性を回避する、凸的かつグローバルに収束するフィードバック制御則設計手法を開発すること。
• 複数の初期条件を安定化できる1つの非線形制御則を生成することにより、スケーラブルでロバストなフィードバックモーションプランニングを可能とすること。これにより、局所線形制御則のライブラリを置き換える可能性を有する。
• 半定値計画（SDP）による有限次元近似が、漸近的に保守的でなくなるように収束することを保証すること。

提案手法

• 制御則設計問題を、非負の占有測度の空間上の無限次元線形計画問題（LP）として定式化し、状態空間と制御空間における軌道の分布を表現する。
• モーメント近似と平方和（SOS）技術を用いて、無限次元LPを有限次元の半定値計画問題（SDP）の系列に緩和する。
• SDPの解から、多項式フィードバック制御則と最大達成可能BRSの外部近似が得られ、弱収束と漸近的保守的でない性質により収束保証が得られる。
• 動的系における三角関数的および非線形項は、有理関数パラメータ化とリフト技術により多項式構造を維持する。
• 無限次元LPの双対問題により、特定の集合がターゲットに到達できないことが証明可能となり、非負連続関数を用いたBRSの外部近似が可能になる。
• 本手法はLMIソルバを用いて実装され、プランラークアッドローターと衛星ア装制御を含む5つの非線形系で検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期化を要しない非線形フィードバック制御則設計のための凸最適化フレームワークを開発可能か？ その際、時間制限付き後向き到達集合（BRS）のサイズを最大化できるか？
• RQ2 占有測度を用いることで、非凸なフィードバック制御則設計問題を凸的無限次元LPに変換できるか？
• RQ3 無限次元LPの有限次元SDP緩和において、保守的でなくなることと弱収束の観点から、どのような収束保証が得られるか？
• RQ4 1つの非線形制御則が、複数の局所線形制御則のライブラリを置き換える程度はどの程度か？ 一様に安定化可能な初期条件の集合を広くカバーできるか？
• RQ5 入力飽和を有する高次元非線形系、例えば6次元衛星ア装制御系において、本手法はどの程度スケーラブルか？

主な発見

• 本手法は、プランラークアッドローターと6次元衛星ア装制御系を含む5つの非線形系について、多項式フィードバック制御則と最大BRSの外部近似を成功裏に計算した。
• プランラークアッドローターの例では、$k=2$ のSDPを解くのに49分を要し、4秒の時間枠内で広範な初期条件の集合を安定化した。
• 衛星ア装制御の例では、$k=3$ で約6時間の計算時間を要したが、ハイパーハイパープランに由来する初期条件の集合を安定化した。一方、$k=2$ では僅か5分で解けたが、やや保守的でない結果を得た。
• 理論的収束保証が確立された：各SDP解は、漸近的に保守的でなくなるBRSの外部近似を提供し、解の部分列が最適な無限次元LP解に弱収束することが保証された。
• 非凸で初期化依存性を有する従来のラプラウン法に比べ、本手法は凸的かつ初期化フリーであるため、局所最適解のリスクを回避し、グローバルにBRSを最適化可能である。
• 本手法により、複数の局所線形制御則のライブラリを1つのグローバルに有効な非線形制御則に置き換えることが可能となり、フィードバックモーションプランニングのための軌道数を著しく削減できる。