[論文レビュー] Teichmüller space of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、単位円板上の向きを保つ微分同相写像で、$ \alpha $-Hölder連続な導関数をもつものからなるテイヒミュラー空間 $ T_0^\beta $ を、普遍テイヒミュラー空間内の複素バナッハ多様体として定義する。複素劣化の崩壊速度を用いた明確な特徴づけを確立し、ベルトラミ微分上の $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ ノルムが誘導する位相が $ C^{1+\alpha} $-位相と一致することを証明することで、この滑らかな円板微分同相写像の空間に、うまく整った幾何学的・解析的構造が備わっていることが保証される。

ABSTRACT

Based on the quasiconformal theory of the universal Teichmüller space, we introduce the Teichmüller space of diffeomorphisms of the unit circle with $α$-Hölder continuous derivatives as a subspace of the universal Teichmüller space. We characterize such a diffeomorphism quantitatively in terms of the complex dilatation of its quasiconformal extension and the Schwarzian derivative given by the Bers embedding. Then, we provide a complex Banach manifold structure for it and prove that its topology coincides with the one induced by local $C^{1+α}$-topology at the base point.

研究の動機と目的

• 単位円板上の $ \alpha $-Hölder連続な導関数をもつ微分同相写像のテイヒミュラー空間 $ T_0^\alpha $ を、普遍テイヒミュラー空間の部分空間として定義し、その性質を研究すること。
• そのような微分同相写像を、その擬等角拡張の複素劣化の崩壊速度によって特徴づけること。
• ベルトラミ微分上の重み付き $ L^\infty $-ノルムを用い、ベルス埋め込みを用いて $ T_0^\alpha $ に複素バナッハ多様体構造を確立すること。
• $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ ノルムが誘導する $ T_0^\alpha $ の位相が、基点における $ C^{1+\alpha} $-位相と一致することを証明すること。
• $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 上の群作用を用いて定義される $ T_0^\alpha $ の右一様位相が、普遍テイヒミュラー空間からの商位相と同値であること。

提案手法

• 擬等角拡張の複素劣化 $ \mu $ が $ \mathbb{D} $ 上で $ O((1-|z|)^\alpha) $ の速度で崩壊する、すなわち $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} < \infty $ であることに基づき、$ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像を特徴づけること。
• ベルス埋め込みを用い、$ T_0^\alpha $ を $ \mathbb{D}^* $ 上の正則な二次微分形式の空間に同定し、重み付きesssupノルムを備えること。
• $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} = \sup_{z \in \mathbb{D}} (1-|z|)^\alpha |\mu(z)| $ を定義し、$ \mu $ の境界近傍での崩壊を制御すること。
• ベルス射影 $ \Phi: \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) \to \beta(T) \cap B_0^\alpha(\mathbb{D}^*) $ が、正則なスプリットな全射であることを証明し、多様体構造の保証を得ること。
• 正規化された代表元 $ \gamma_n = g_n \circ g^{-1} $ の $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 内での収束を用いて、$ T_0^\alpha $ の商位相と右一様位相の同値性を確立すること。
• 基点変換写像と右移動の連続性を用い、$ T_0^\alpha $ の位相が、バイホロモルフィックな群作用に関して不変であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円板微分同相写像の導関数のHölder正則性と、その擬等角拡張の複素劣化の崩壊速度との間には、どのような正確な関係があるか？
• RQ2 $ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像のテイヒミュラー空間 $ T_0^\alpha $ に、複素バナッハ多様体構造を導入できるか？
• RQ3 $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ ノルムが誘導する $ T_0^\alpha $ の位相と、微分同相写像群上の $ C^{1+\alpha} $-位相とは、どのように比較できるか？
• RQ4 $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ の群構造によって誘導される $ T_0^\alpha $ の右一様位相は、普遍テイヒミュラー空間からの商位相と同値か？
• RQ5 $ T_0^\alpha $ 上の小林計量は、普遍テイヒミュラー空間からのテイヒミュラー計量の制限と一致するか？

主な発見

• 円板上の微分同相写像 $ g \in \operatorname{QS} $ が $ \alpha $-Hölder連続な導関数をもつことと、その $ \mathbb{D} $ 上への擬等角拡張の複素劣化 $ \mu $ が $ \|\mu\|_{\infty,\alpha} < \infty $、すなわち $ |z| \to 1 $ のとき $ \mu(z) = O((1-|z|)^\alpha) $ を満たすことは、同値である。
• テイヒミュラー空間 $ T_0^\alpha $ は、ベルス埋め込みを用いて、$ \mathbb{D}^* $ 上の正則な二次微分形式の空間に、重み付き $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ ノルムを備えて埋め込まれることで、複素バナッハ多様体構造をもつ。
• $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ 上の $ \|\cdot\|_{\infty,\alpha} $ ノルムが誘導する $ T_0^\alpha $ の位相は、$ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 上の $ C^{1+\alpha} $-位相と一致する。
• $ \operatorname{Diff}_+^{1+\alpha}(\mathbb{S}^1) $ 内の右移動を用いて定義される $ T_0^\alpha $ の右一様位相は、$ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ からの商位相と同値である。
• $ T_0^\alpha $ 上の小林計量は、普遍テイヒミュラー空間 $ T $ からのテイヒミュラー計量の制限と一致し、無限小計量の整合性が保証される。
• $ (T_0^\alpha, \ast) $ は、同定された位相に関して、右移動と基点変換写像がバイホロモルフィックであることを含め、位相群である。