[論文レビュー] Teichmuller distance for some polynomial-like maps

Eduardo A. Prado|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1996

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化された多項式的写像のクラス—具体的には臨界的でない双曲的写像—に対して、ジュリア集合内の双曲的集合を用い、非線形解析的系におけるスーリヴァンの剛性定理を適用することで、ティッヒミュラー距離がwell-definedな距離であることを確立する。主な結果は、このような写像に対して、最大エントロピー測度のハウスドルフ次元がジュリア集合のそれより厳密に小さいことを示しており、チェビシェフ多項式を除いて成り立つ。これは、ズディニクの結果を多項式の範囲を超えて拡張するものである。

ABSTRACT

In this work we will show that the Teichmüller distance for all elements of a certain class of generalized polynomial-like maps (the class of off-critically hyperbolic generalized polynomial-like maps) is actually a distance, as in the case of real polynomials with connected Julia set, as studied by Sullivan. This class contains several important classes of generalized polynomial-like maps, namely: Yoccoz, Lyubich, Sullivan and Fibonacci. In our proof we can not use external arguments (like external classes). Instead we use hyperbolic sets inside the Julia sets of our maps. Those hyperbolic sets will allow us to use our main analytic tool, namely Sullivan's rigidity Theorem for non-linear analytic hyperbolic systems. Lyubich has constructed a measure of maximal entropy measure $m$ on the Julia set of any rational function $f$. Zdunik classified exactly when the Hausdorff dimension of $m$ equals the Hausdorff dimension of the Julia set. We show that the strict inequality holds if $f$ is off-crititcally hyperbolic, except for Chebyshev polynomials. This result is a particular case of Zdunik's result if we consider $f$ as a polynomial, but is an extension of Zdunik's result if $f$ is a generalized polynomial-like map. The proof follows from the non-existence of invariant affine structure.

研究の動機と目的

• 一般化された多項式的写像の広いクラスに対して、ティッヒミュラー距離が有効な距離であることを確立すること。
• ズディニクの最大エントロピー測度のハウスドルフ次元に関する結果を、非多項式的な一般化された多項式的写像へと拡張すること。
• 最大エントロピー測度のハウスドルフ次元がジュリア集合のそれより厳密に小さいという不等式が、チェビシェフ多項式を除いて成り立つことを証明すること。
• 外部のクラスや外部のクラスに依存せずに、双曲的集合のような内部の力学的構造を用いることによって、依存を回避すること。

提案手法

• 写像のジュリア集合内に存在する双曲的集合を、解析の構造的基盤として用いる。
• 非線形解析的双曲的系におけるスーリヴァンの剛性定理を適用し、ティッヒミュラー極値写像の一意性を確立する。
• リュービッチが有理写像のジュリア集合上に最大エントロピー測度を構成する手法を用いる。
• 不変なアフィン構造の非存在を分析し、剛性性質を導出する。
• ティッヒミュラー空間における退化の排除に、不変なアフィン構造の不在を主要な解析的道具として用いる。
• 外部の幾何的・等角的クラスに依存せず、写像の内在的力学に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界的でない双曲的写像の一般化された多項式的写像に対して、ティッヒミュラー距離はwell-definedな距離であるか？
• RQ2 チェビシェフ多項式を除いて、このような写像に対して最大エントロピー測度のハウスドルフ次元がジュリア集合のそれより厳密に小さいという関係は成り立つか？
• RQ3 外部のクラスや外部のクラスに依存せずに、ティッヒミュラー距離の剛性を確立できるか？
• RQ4 スーリヴァンの剛性定理は、非多項式的な一般化された多項式的写像へとどの程度適用可能か？
• RQ5 不変なアフィン構造の存在と、このクラスの写像におけるティッヒミュラー距離との関係は何か？

主な発見

• ティッヒミュラー距離は、Yoccoz、Lyubich、Sullivan、Fibonacci型を含む、すべての臨界的でない双曲的一般化された多項式的写像に対して有効な距離である。
• チェビシェフ多項式を除き、すべてのこのような写像に対して、最大エントロピー測度のハウスドルフ次元はジュリア集合のそれより厳密に小さい。
• 不変なアフィン構造の非存在を根拠に、ハウスドルフ次元における厳密な不等式が確立された。
• この結果は、ズディニクの定理を多項式写像の範囲を超えて、より広い一般化された多項式的写像のクラスへと拡張する。
• 証明は、外部の幾何的・等角的不変量に依存せず、双曲的集合のような内部の力学的構造に依存する。
• 不変なアフィン構造の不在と内在的な双曲的力学を用いることで、スーリヴァンの剛性定理が非多項式写像へも成功裏に適用された。