[論文レビュー] Temporal Type Theory: A topos-theoretic approach to systems and behavior

Patrick Schultz, David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 28被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、時間区間上の層を用いてシステムの挙動をモデル化するトポス論的枠組み、すなわち時系列型理論を導入する。区間ドメイン IR/⊲ 上の層のトポスを用いることで、連続関手および冪等的モダリティを通じて時系列的性質を形式化し、層の条件とフィルター付き帰納極限の保存性の間の同値性を確立する。主な貢献は、ハイブリッドシステム、常微分方程式、システム契約への応用を含む、時間依存挙動の圏論的意味論の確立である。

ABSTRACT

This book introduces a temporal type theory, the first of its kind as far as we know. It is based on a standard core, and as such it can be formalized in a proof assistant such as Coq or Lean by adding a number of axioms. Well-known temporal logics---such as Linear and Metric Temporal Logic (LTL and MTL)---embed within the logic of temporal type theory. The types in this theory represent "behavior types". The language is rich enough to allow one to define arbitrary hybrid dynamical systems, which are mixtures of continuous dynamics---e.g. as described by a differential equation---and discrete jumps. In particular, the derivative of a continuous real-valued function is internally defined. We construct a semantics for the temporal type theory in the topos of sheaves on a translation-invariant quotient of the standard interval domain. In fact, domain theory plays a recurring role in both the semantics and the type theory.

研究の動機と目的

• 動的システムの時間的挙動について形式的数学的枠組みを構築すること。
• 時間依存挙動を区間ドメイン IR/⊲ から導かれるトポス上の層としてモデル化すること。
• 連続性、遅延、微分といった性質を捉えることができる時系列モダリティを備えた型理論を提供すること。
• 層の条件とフィルター付き帰納極限を保存する関手との間の圏論的意味論を確立し、整合的な論理的推論を可能にすること。
• ハイブリッドシステム、常微分方程式、空港交通管制システムを含む実世界のシステムへの応用を可能にすること。

提案手法

• 時間のモデル化を、非空の実区間の順序集合 IR/⊲ として行い、その上で「下位関係」⟨⟨ℓ, ℓ′⟩⟩ を備える。
• 被覆族が下位写像によって生成されるサイト SIR/⊲ 上の層として挙動型を定義する。
• 圏 [IR/⊲, Set] 上の随伴関手を用いて、主なモダリティ（例： ։, ↓, @, π）を導入し、t∗ および t∗ を冪等的自己関手として定義する。
• 固定点関手 t∗ および t∗ を用いて、層の圏 Shv(SIR/⊲) と連続関手の圏 Cont(IR/⊲) の間の同値性を確立する。
• 右随伴関手 t∗ の計算に、端点公式 (t∗X)(ℓ) = ∫ℓ′ Set(⟨⟨ℓ, ℓ′⟩⟩, X(ℓ′)) を用いる。
• Dedekind j-数値型およびモダリティ論理を用いて、微分、遅延、ハイブリッドシステムのモデル化に本フレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的システムにおける時系列的挙動は、圏論およびトポス論を用いてどのように形式的にモデル化できるか？
• RQ2 区間ドメイン上の層とフィルター付き帰納極限を保存する関手との間の圏論的関係は何か？
• RQ3 型理論におけるモダリティは、連続性、遅延、微分といった時間依存性をどのように捉えることができるか？
• RQ4 本フレームワークは、論理的整合性を保ちながらハイブリッドシステムおよび常微分方程式についての推論を可能にするか？
• RQ5 トポス B = Shv(SIR/⊲) は、数学的に厳密かつ計算的に意味のある時系列型理論の意味論をどのように提供するか？

主な発見

• トポス B = Shv(SIR/⊲) は、フィルター付き帰納極限を保存する関手の圏 Cont(IR/⊲) と同値であり、層の条件と連続性の間の深い双対性を確立する。
• [IR/⊲, Set] 上の関手 t∗ および t∗ は冪等的であり、それらの固定点はそれぞれ層および連続関手に正確に対応する。
• 挙動型 Time は、1（終対象）に対する t∗(1) として層としてモデル化され、時間区間の構造を捉える。
• モダリティ ։, ↓, @, π は随伴関手を用いた圏論的意味論により与えられ、時系列的性質に関する論理的推論を可能にする。
• Dedekind j-数値型およびその層論的意味論を用いて、区間値関数の微分のモデル化が可能である。
• 理論は整合的である：時系列型理論におけるすべての公理が圏論的意味論において妥当であることが示され、論理的整合性が保証される。