[論文レビュー] Exact completions and small sheaves

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、$κ$-アリなサイトと$κ$-アリな正確カテゴリの定義を通じて、圏論における正確補完の統一的枠組みを提示する。$κ$-アリな正確補完が$κ$-アリなサイトの反射的部分2カテゴリをなすことを示し、古典的構成（前トポス補完、層化、小さなプレシーブェ関手の圏など）を包含する一般化された普遍性を確立する。主な結果は、一般化されたサイトの準同型と、表現可能プロファンクターおよびアナファンクターを用いた二重の双対的構成を通じて得られる、2-圏的構造の異なる脱カテゴリフィケーションに対応する、普遍的性質の一般化である。

ABSTRACT

We prove a general theorem which includes most notions of "exact completion". The theorem is that "k-ary exact categories" are a reflective sub-2-category of "k-ary sites", for any regular cardinal k. A k-ary exact category is an exact category with disjoint and universal k-small coproducts, and a k-ary site is a site whose covering sieves are generated by k-small families and which satisfies a weak size condition. For different values of k, this includes the exact completions of a regular category or a category with (weak) finite limits; the pretopos completion of a coherent category; and the category of sheaves on a small site. For a large site with k the size of the universe, it gives a well-behaved "category of small sheaves". Along the way, we define a slightly generalized notion of "morphism of sites", and show that k-ary sites are equivalent to a type of "enhanced allegory".

研究の動機と目的

• 前トポス補完、層化、小さなプレシーブェ関手の圏といった多様な正確補完構成を、一つの圏論的枠組みに統一すること。
• サイトの準同型の概念を、密度の高い包含と非部分カノニカルな位相を含むように一般化し、より広範な適用可能性を実現すること。
• 任意の正則基数$κ$に対して、$κ$-アリな正確カテゴリが$κ$-アリなサイトの反射的部分2カテゴリをなすことを確立し、正確補完に普遍的性質を与えること。
• 2-圏的構造の異なる脱カテゴリフィケーションに対応する、$κ$-アリな正確補完が表現可能プロファンクターとアナファンクターの両方を用いて二重に双対的に構成できることを示すこと。
• $κ$が宇宙のサイズである$\KA$であるとき、大規模なサイト上の自明な位相に対して$κ$-アリな正確補完をとると、自然にそのサイト上の小さな層の圏が得られることを示すこと。

提案手法

• カーディナリティ$κ$に適した、$κ$-小の族によって生成される被覆シーブと、$κ$に関する有限極限に対する弱い解集合条件を備えたサイト、すなわち$κ$-アリなサイトの概念を導入する。
• 普遍的に効果的な同値関係と、普遍的で、$κ$-小の直和を備えた圏として、$κ$-アリな正確カテゴリを定義する。
• 代表的平坦性に加え、余域の位相に関して平坦である関手を含むように、サイトの準同型を一般化し、密度の高い部分サイトの包含を含める。
• 表現可能プロファンクター（関係に類似）とアナファンクター（部分関手に類似）の両方を用いた二重の同値な方法で、$κ$-アリなサイトの$κ$-アリな正確補完を構成する。
• $κ$-アリなサイトと特定の拡張アレゴリーの間の2-圏的同値を確立し、これによりアレゴリックな推論を通じて正確補完を構成可能にする。
• 正確補完の普遍的性質を用いて、サイトの$κ$-アリな正確補完への準同型が、被覆平坦関手と対応することを示し、古典的な平坦関手と層化に関する結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前トポス補完、層化、小さなプレシーブェ関手の圏といった正確補完構成を、一つの圏論的枠組みに統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 正確補完の普遍的性質を保ちつつ、密度の高い包含と非部分カノニカルな位相を含めるために、サイトの準同型のどの一般化が必要か？
• RQ3 表現可能プロファンクターによる正確補完とアナファンクターによる正確補完の二つの構成は、どのように関係し、それぞれが圏論的に何を表すのか？
• RQ4 $κ$-アリなサイトの$κ$-アリな正確補完の正確な普遍的性質は何か？ そして、既知の普遍的性質をどのように一般化するのか？
• RQ5 大規模なサイトの$κ$-アリな正確補完が、良い性質を持つ小さな層の圏をもたらすのはどのような条件下か？

主な発見

• $κ$-アリな正確補完は、$κ$-アリなサイトの2-圏における反射的部分2カテゴリをなす。これは正確補完の普遍的性質を一般化する。
• $κ = \omega$のとき、コンパクトな圏の$κ$-アリな正確補完はその前トポス補完を与える。これは古典的な結果を回復する。
• $κ = \KA$（宇宙のサイズ）のとき、大規模なサイト上の自明な位相に対して$κ$-アリな正確補完をとると、そのサイト上の小さな層の圏が得られる。
• $κ$-アリなサイトの$κ$-アリな正確補完は、二重に双対的な二通りの方法で構成可能である。一つは表現可能プロファンクター（関係に類似）を用い、もう一つはアナファンクター（部分関手に類似）を用いる。両者は同値な結果を与える。
• 小さなサイト間の関手が被覆平坦であるための必要十分条件は、その左カルタン拡張と層化の合成が有限極限を保存することである。これはジョンストンの『スケッチ・オブ・ア・イーリアン』における結果を一般化する。
• 圏をその$κ$-アリなファミリーカテゴリに埋め込む写像は密度を持つ。また、元の圏の$κ$-アリな正確補完は、そのファミリーカテゴリの単項正確補完と同値である。