[論文レビュー] Tensor and Matrix Inversions with Applications

Michael Brazell, Na Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、アインシュタイン積を用いたテンソル逆行列の群論的枠組みを確立し、偶数階テンソルが一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ に同型であることを証明する。これにより、多次元線形系の解法、テンソル分解（CPおよび多次元SVD）、反復法（バイコンジュゲート勾配法やヤコビ法）による数値的解法が可能となり、高次元PDEおよび量子モデルへの応用が可能となる。

ABSTRACT

Higher order tensor inversion is possible for even order. We have shown that a tensor group endowed with the Einstein (contracted) product is isomorphic to the general linear group of degree $n$. With the isomorphic group structures, we derived new tensor decompositions which we have shown to be related to the well-known canonical polyadic decomposition and multilinear SVD. Moreover, within this group structure framework, multilinear systems are derived, specifically, for solving high dimensional PDEs and large discrete quantum models. We also address multilinear systems which do not fit the framework in the least-squares sense, that is, when the tensor has an odd number of modes or when the tensor has distinct dimensions in each modes. With the notion of tensor inversion, multilinear systems are solvable. Numerically we solve multilinear systems using iterative techniques, namely biconjugate gradient and Jacobi methods in tensor format.

研究の動機と目的

• アインシュタイン積を用いた群論的手法を用いて、テンソル逆行列の厳密な数学的枠組みを確立すること。
• 偏微分方程式や量子力学に生じる高次元多次元線形系の解法を可能にすること。
• 対称性制約の下で、群同型の特別な場合としてCP分解および多次元SVDを導出すること。
• 行列に基づく数値的手法（例：バイコンジュゲート勾配法、ヤコビ法）をテンソル形式に拡張し、多次元線形系の反復的解法を可能にすること。
• 非正方または奇数モードのテンソルに対しても、テンソル群枠組み内での最小二乗法による定式化により対処すること。

提案手法

• アインシュタイン積に関して、$(\mathbb{T}, \ast_2)$ をテンソル群として定義し、全単射写像 $f$ を通じて一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ に同型であることを示す。
• 同型写像 $f: \mathbb{T} \to \mathbb{M}$ を用いて、行列群の性質（結合則、単位元、逆元の存在）をテンソルへと移行する。
• テンソル逆行列を $\widetilde{\mathcal{A}} = f^{-1}\left( [f(\mathcal{A})]^{-1} \right)$ として定義し、$\widetilde{\mathcal{A}} \ast_2 \mathcal{A} = \mathcal{A} \ast_2 \widetilde{\mathcal{A}} = \mathscr{E}$ を満たすようにする。ここで $\mathscr{E}$ は、要素が $\delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2}$ である恒等テンソルである。
• 対称性を因子に課した場合に、CP分解および多次元SVDが群同型の特別な場合として導かれるようにし、既知のテンソル分解と関連付ける。
• 反復法（バイコンジュゲート勾配法、ヤコビ法）をテンソル形式に実装し、特に高次元PDEおよび量子モデルにおける多次元線形系の解法を可能にする。
• 奇数階またはモード次元が一様でない場合の非可逆ケースに対し、テンソル群枠組み内での最小二乗最小化により対処する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンソル逆行列はどのような条件下で可能であり、群論を用いた代数的定義はどのように行えるか？
• RQ2 CPおよび多次元SVDのようなテンソル分解は、同型群構造からどのように導出可能か？
• RQ3 高次元PDEおよび量子モデルにおける多次元線形系を解くために、反復的数値手法をテンソル形式に適応可能か？
• RQ4 テンソル群および同型枠組みは、奇数モード数または異なるモード次元を持つテンソルをどのように処理するか？
• RQ5 アインシュタイン積は、行列代数と類似する形で、どのように多次元線形系およびテンソル逆行列を可能にするか？

主な発見

• アインシュタイン積に関して、偶数階テンソルの集合は一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$ に同型であり、厳密なテンソル逆行列が可能となる。
• テンソル群の単位元は、要素が $\delta_{i_1 j_1} \delta_{i_2 j_2}$ であるテンソル $\mathscr{E}$ であり、アインシュタイン積において単位元として機能する。
• テンソル逆行列は、同型写像 $f$ の下での対応行列の逆行列を用いて定義され、$\widetilde{\mathcal{A}} \ast_2 \mathcal{A} = \mathcal{A} \ast_2 \widetilde{\mathcal{A}} = \mathscr{E}$ を満たす。
• 因子に対称性を課した場合、CP分解や多次元SVDは群同型の特別な場合として現れ、既存のテンソル分解と関連づけられる。
• バイコンジュゲート勾配法やヤコビ法のような反復法が、高次元PDEおよび量子モデルにおける多次元線形系の解法に成功裏にテンソル形式に適応可能である。
• 奇数階またはモード次元が一様でないテンソルに対しても、最小二乗法による定式化により、過剰または不足な多次元線形系の数値的解法が可能となる。