[論文レビュー] Tensor categorical foundations of algebraic geometry

Martin Brandenburg|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、準同型層のテンソルカテゴリからスキームおよび代数的スタックを再構成できることを示すことにより、代数幾何学にテンソル圏的基盤を確立する。cocompleteテンソル圏を用いて、アフィン的写像、射影的埋め込み、吹き替え、ファイバー積といった古典的構成を普遍的性質によって一般化し、モジュライ空間がその普遍的性質を通じてテンソルカテゴリに対応することを明らかにする。

ABSTRACT

Tannaka duality and its extensions by Lurie, Schäppi et al. reveal that many schemes as well as algebraic stacks may be identified with their tensor categories of quasi-coherent sheaves. In this thesis we study constructions of cocomplete tensor categories (resp. cocontinuous tensor functors) which usually correspond to constructions of schemes (resp. their morphisms) in the case of quasi-coherent sheaves. This means to globalize the usual local-global algebraic geometry. For this we first have to develop basic commutative algebra in an arbitrary cocomplete tensor category. We then discuss tensor categorical globalizations of affine morphisms, projective morphisms, immersions, classical projective embeddings (Segre, Plücker, Veronese), blow-ups, fiber products, classifying stacks and finally tangent bundles. It turns out that the universal properties of several moduli spaces or stacks translate to the corresponding tensor categories.

研究の動機と目的

• 局所的・グローバルな原理を一般化する代数幾何学のグローバルなテンソル圏的枠組みを構築すること。
• 古典的幾何的構成（例えば、吹き替え、射影的埋め込み）が、cocompleteテンソル圏における普遍的性質から再構成可能であることを示すこと。
• タナカ双対性およびルーリエの研究を拡張し、準同型層のテンソルカテゴリによってスキームおよび代数的スタックを特徴づけること。
• 任意のcocompleteテンソル圏における降下、局所化、コホモロジーの形式的体系を提供すること。
• モジュライ空間および分類スタックが、その関連するテンソルカテゴリの普遍的性質を通じてどのように幾何的構造を示すかを明らかにすること。

提案手法

• 任意のcocompleteテンソル圏における可換代数の構築、すなわち代数、加群、イデアル、双対可能対象を含む。
• cocompletion、indization、および与えられた圏上のテンソル圏といった自由構成の導入。
• スタックとcocompleteテンソル圏の間の随伴を応用し、幾何的対象をそのテンソル圏から再構成すること。
• イデアルおよびセクションにおける局所化技術を用いて、テンソル圏からスキームを一般化して構成すること。
• モノイダルモナドおよびそのモジュールの理論を応用し、ファイバー積や接ベクトル場のカテゴリといった幾何的対象を定義・研究すること。
• 普遍的性質を用いて、セグレ、ヴェロネーゼ、プラüッカー埋め込みをテンソル圏的枠組みで定義・特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学における古典的幾何的構成（例えば、吹き替え、ファイバー積、射影的埋め込み）は、関連するテンソルカテゴリの普遍的性質のみから再構成可能か？
• RQ2 任意のcocompleteテンソル圏としての準同型層の圏の構造のみを用いて、スキームや代数的スタックの概念をどのように一般化できるか？
• RQ3 cocompleteテンソル圏におけるどの普遍的性質が、吹き替え、ファイバー積、射影的埋め込みといった標準的幾何的操作に対応するか？
• RQ4 コホモロジー、降下、局所化は、任意のcocompleteテンソル圏内でどの程度形式化可能か？
• RQ5 モジュライ空間および分類スタックは、その関連するテンソルカテゴリの普遍的性質を通じて、どのように幾何的構造を示すか？

主な発見

• 本稿は、スキームおよび代数的スタックが、それらの準同型層のcocompleteテンソル圏によって完全に決定されることを確立し、ガブリエルの再構成定理を一般化する。
• アフィン的写像、埋め込み、射影的写像が、テンソル圏的枠組みにおける普遍的性質によって特徴づけられる。
• 古典的射影的埋め込み（セグレ、ヴェロネーゼ、プラüッカー）が、cocompleteテンソル圏における普遍的構成として再構成される。
• 吹き替えが、テンソル圏的枠組みにおいて普遍的性質によって特徴づけられ、古典的構成を一般化する。
• スキームのファイバー積が、cocompleteテンソル圏のカテゴリーにおけるテンソル的ベース変換を通じて回復される。
• スキームの接バンドルが、準同型層の圏の接カテゴリを介してテンソル圏的構成として実現される。