[論文レビュー] Tensor product for symmetric monoidal categories

Vincent Schmitt|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、小規模な対称モノイド圏、関手、モノイド変換からなる2-category SMCに、対称モノイド閉じた2-category構造を構成する。テンソル積は普遍的性質を用いて定義され、商 SMC/∼ が厳密に可換する整合性図と2-自然な標準的矢印を持つ対称モノイド閉じた構造を継承することが示される。

ABSTRACT

We introduce a tensor product for symmetric monoidal categories with the following properties. Let SMC denote the 2-category with objects small symmetric monoidal categories, arrows symmetric monoidal functors and 2-cells monoidal natural transformations. Our tensor product together with a suitable unit is part of a structure on SMC that is a 2-categorical version of the symmetric monoidal closed categories. This structure is surprisingly simple. In particular the arrows involved in the associativity and symmetry laws for the tensor and in the unit cancellation laws are 2-natural and satisfy coherence axioms which are strictly commuting diagrams. We also show that the category quotient of SMC by the congruence generated by its 2-cells admits a symmetric monoidal closed structure.

研究の動機と目的

• 対称モノイド圏に、2-category SMC に対称モノイド閉じた構造を与えるテンソル積を定義すること。
• 結合、対称、単位キャンセレーションの標準的矢印が2-自然であり、厳密に可換する整合性図を満たすことを確立すること。
• 2-セルによって生成される同値関係 ∼ による商圏 SMC/∼ が、元の2-category から対称モノイド閉じた構造を継承することを示すこと。
• Eilenberg-Kelly のモノイド閉じた構造の2-圏的一般化を提供すること。厳密な整合性と2-ファンクター性を備える。

提案手法

• 生成グラフと関係を用いた普遍的性質により、対称モノイド圏 A と B のテンソル積 A ⊗ B を定義する。
• 関手 En: SMC(A, [B, C]) → SMC(A ⊗ B, C) と Rn: SMC(A ⊗ B, C) → SMC(A, [B, C]) を構成し、Rn ◦ En = 1 となるモノイド随伴を形成する。
• 内部ホム [A, B] が存在することを確立し、SMC(A, B) に対称モノイド構造を導入する。
• 同型写像 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]] が2-自然であり、強い自然性条件を満たすことを証明する。
• 結合、単位、対称のための標準的矢印 A′, L′, R′, S′ を導入し、これらが2-自然で、緩い逆を持つことを示す。
• SMC を2-セルによって生成される同値関係 ∼ で商し、記号 @ を用いて SMC/∼ が対称モノイド閉じた構造を継承することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称モノイド圏、関手、モノイド変換からなる2-category SMC に、対称モノイドテンソル積を定義できるか？
• RQ2 SMC における結合、対称、単位キャンセレーションの標準的矢印が、厳密に可換する整合性図を満たす2-自然族を形成するか？
• RQ3 2-セルによって生成される同値関係 ∼ による商圏 SMC/∼ は、元の2-category から対称モノイド閉じた構造を継承するか？
• RQ4 テンソル積 A ⊗ B の普遍的性質は、SMC(A, [B, C]) と SMC(A ⊗ B, C) 間の随伴とどのように関係するか？
• RQ5 2-ファンクター π: Cat → Set は、商圏 SMC/∼ 及びその対称モノイド構造を構成するために果たす役割は何か？

主な発見

• テンソル積 A ⊗ B は、Rn ◦ En = 1 を満たすモノイド随伴 En ⊣ Rn を誘導する普遍的性質により定義される。
• 結合、単位、対称のための標準的矢印 A′, L′, R′, S′ は2-自然であり、厳密に可換する整合性図を満たす。
• 圏 SMC/∼ はテンソル @、単位 I、構造写像 A∼, R∼, L∼, S∼ を備えた対称モノイド閉じた構造を有する。
• 同型写像 D: [A, [B, C]] → [B, [A, C]] は2-自然であり、強い自然性を満たし、対称モノイド構造を可能にする。
• En と Rn 間の随伴は商に引き継がれ、Rn ◦ En = 1 が SMC/∼ で同型を誘導する。
• SMC/∼(A@B, C) ∼= SMC/∼(A, [B, C]) である同型の族は A, B, C に関して自然であり、SMC/∼ における閉じた構造を確認する。